Lema de Gauss
En la teoría de polinomios, el lema de Gauss, o Criterio de la irreducibilidad de Gauss, afirma que si es un dominio de factorización única (DFU) y es su cuerpo de cocientes (o cuerpo de fracciones), entonces el contenido de dos polinomios dados con coeficientes en es el producto de contenidos y todo polinomio primitivo es irreducible en si y sólo si lo es en .
![{\displaystyle p\in D[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/560dc3ae11ad50a9bc6e6bf4224917d01eb76584)
![{\displaystyle ~D[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d1db4d5779d21c04db0ec872e5d60aabd9c3338e)
![{\displaystyle \mathbb {K} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a2c677cb3a6dab9be8d09aa08d78a137e17d894)
El Criterio de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultado muy útil para demostrar ciertas propiedades de divisibilidad en anillos de polinomios: por la equivalencia que señala el criterio entre la irreducibilidad de un polinomio primitivo en y la irreducibilidad del mismo polinomio en , puede demostrarse que al ser un DFU también lo es .
![{\displaystyle D[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2f426164d64425e649e64ff77367cc98504d75e)
Así, se tiene como corolario que si es un DFU entonces también lo es , sea o no este último anillo un dominio de ideales principales (DIP). Por ejemplo, no es un DIP pero sí es un DFU.
![{\displaystyle \mathbb {Z} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4da3ac703cc7721ebba91a53f6752de7157124)
También se puede usar el lema para demostrar el criterio de Eisenstein, muy útil para identificar polinomios irreducibles en los racionales.