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En Física, el lagrangiano de Euler–Heisenberg describe la dinámica no lineal del campo electromagnético en el vacío. Este lagrangiano nos da las contribuciones de la polarización del vacío a 1 loop, y es válido para campos electromagnéticos que cambian despacio comparado con el inverso de la masa del electrón .
Este lagrangiano fue obtenido por primera vez por Werner Heisenberg y Hans Heinrich Euler ,[ 1]
L
=
−
F
−
1
8
π
2
∫
0
∞
d
s
s
3
exp
(
−
m
2
s
)
[
(
e
s
)
2
Re
cosh
(
e
s
2
(
F
+
i
G
)
)
Im
cosh
(
e
s
2
(
F
+
i
G
)
)
G
−
2
3
(
e
s
)
2
F
−
1
]
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{s^{3}}}\exp \left(-m^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right],}
donde:
m
{\displaystyle m}
e
{\displaystyle e}
F
{\displaystyle {\mathcal {F}}}
G
{\displaystyle {\mathcal {G}}}
transformaciones de Lorentz del campo electromagnético:
F
=
1
2
(
B
2
−
E
2
)
,
{\displaystyle {\mathcal {F}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {B} ^{2}-\mathbf {E} ^{2}\right),}
G
=
E
⋅
B
.
{\displaystyle {\mathcal {G}}=\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} .}
En el límite de campo débil (aunque mucho mayor que los campos electromagnéticos que se pueden producir hoy día), se puede aproximar por:
L
=
1
2
(
E
2
−
B
2
)
+
2
α
2
45
m
4
[
(
E
2
−
B
2
)
2
+
7
(
E
⋅
B
)
2
]
,
{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right],}
donde
α
{\displaystyle \alpha }
constante de estructura fina .
Referencias
↑ W. Heisenberg and H. Euler, Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons Z. Phys. 98 , 714 (1936).
![{\displaystyle {\mathcal {L}}=-{\mathcal {F}}-{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{s^{3}}}\exp \left(-m^{2}s\right)\left[(es)^{2}{\frac {\operatorname {Re} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}{\operatorname {Im} \cosh \left(es{\sqrt {2\left({\mathcal {F}}+i{\mathcal {G}}\right)}}\right)}}{\mathcal {G}}-{\frac {2}{3}}(es)^{2}{\mathcal {F}}-1\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47d6b9e9b913479fa59e10a066b2c3fd5e6d1f7d)
![{\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)+{\frac {2\alpha ^{2}}{45m^{4}}}\left[\left(\mathbf {E} ^{2}-\mathbf {B} ^{2}\right)^{2}+7\left(\mathbf {E} \cdot \mathbf {B} \right)^{2}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da9bd98c082b43ac3a7bfc1a7b168773c0c31bc0)
Datos: Q5409007