Lagrangiano de Euler-Heisenberg

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En fFísica, el lagrangiano de Euler–Heisenberg describe la dinámica no lineal del campo electromagnético en el vacío. Este lagrangiano nos da las contribuciones de la polarización del vacío a 1 loop, y es válido para campos electromagnéticos que cambian despacio comparado con el inverso de la masa del electrón.

Este lagrangiano fue obtenido por primera vez por Werner Heisenberg y Hans Heinrich Euler,[1] y tiene la siguiente forma::

\mathcal{L} =-\mathcal{F} -\frac{1}{8\pi^{2}}\int_{0}^{\infty}\frac{ds}{s^{3}}\exp\left(-m^{2}s\right)\left[(es)^{2}\frac{\operatorname{Re}\cosh\left(es\sqrt{2\left(\mathcal{F} + i\mathcal{G}\right)}\right)}{\operatorname{Im}\cosh\left(es\sqrt{2\left(\mathcal{F} + i\mathcal{G}\right)}\right)}\mathcal{G}-\frac{2}{3}(es)^{2}\mathcal{F} - 1\right],

donde:

  • m es la masa del electrón,
  • e es su carga, y
  • \mathcal{F} y \mathcal{G} son los escalares invariantes bajo transformaciones de Lorentz del campo electromagnético:

\mathcal{F}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{B}^2 - \mathbf{E}^2\right),

\mathcal{G}=\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}.

En el límite de campo débil (aunque mucho mayor que los campos electromagnéticos que se pueden producir hoy día), se puede aproximar por:

\mathcal{L} = \frac{1}{2}\left(\mathbf{E}^{2}-\mathbf{B}^{2}\right)+\frac{2\alpha^{2}}{45 m^{4}}\left[\left(\mathbf{E}^2 - \mathbf{B}^2\right)^{2} + 7 \left(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\right)^{2}\right],

donde \alpha es la constante de estructura fina.

Referencias[editar]

  1. W. Heisenberg and H. Euler, Folgerungen aus der Diracschen Theorie des Positrons Z. Phys. 98, 714 (1936).