Límite superior y límite inferior

Una ilustración representando el límite superior y el límite inferior en un sistema de coordenadas cartesianas. La sucesión x_n está denotada en una línea a puntos azul. Las dos curvas rojas se aproximan al límite superior y límite inferior de x_n, cuyo caso se muestran como líneas a trazos rojas, continuas a la derecha. El límite superior es el más grande de los dos, y el límite inferior el más pequeño de los dos. Los límites superior e inferior solo coinciden cuando la secuencia es convergente (*i.e.*, cuando el límite es común).

En matemática se define límite superior y límite inferior de una sucesión (x_n) como el mayor y menor límite convergente de las subsecuencias de (x_n). Análogamente a este, el límite superior y límite inferior para funciones reales se define de la misma manera. El límite superior y el límite inferior son un sustituto parcial para el límite, si es que este no existe. Por definición no se puede superar al límite superior.

Definición formal[editar]

Formalmente el límite inferior de una sucesión $(x_{n})$ se define como

\sup _{n\geq 0}\,\inf _{k\geq n}x_{k}=\sup\{\inf\{x_{k}:k\geq n\}:n\geq 0\}

o también como

\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\inf _{k\geq n}x_{k}\right)

y se denota como $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ o como $\varliminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}$ . Análogamente se define $\limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\varlimsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{k\geq n}x_{k}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sup _{k\geq n}x_{k}\right)$ .

Estas definiciones son útiles en un conjunto parcialmente ordenado en un sentido cuantitativo, y proporcionan que el supremo y el ínfimo existan. En una red reticular completa siempre existen estos valores, por lo que en este caso, cada secuencia tiene un límite inferior y límite superior asociado.

Si existe el límite inferior y el límite superior de una sucesión $(x_{n})$ , se cumple que $\liminf _{n\rightarrow \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\rightarrow \infty }x_{n}\;.$

Además se verifica que si el límite de la sucesión existe, este es igual tanto al límite inferior como al superior.

Bibliografía[editar]

Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlín 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-6 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).

Datos: Q1076611
Multimedia: Limit superior and limit inferior / Q1076611