Límite superior y límite inferior

Una ilustración representando el límite superior y el límite inferior. La sucesión x_n está denotada en una línea a puntos azul. Las dos curvas rojas se aproximan al límite superior y límite inferior de x_n, cuyo caso se muestran como líneas a trazos rojas, continuas a la derecha. El límite superior es el más grande de los dos, y el límite inferior el más pequeño de los dos. Los límites superior e inferior sólo coinciden cuando la secuencia es convergente (i.e., cuando el límite es común).

En matemática se define límite superior y límite inferior de una sucesión (x_n) como el mayor y menor límite convergente de las subsecuencias de (x_n). Análogamente a éste, el límite superior y límite inferior para funciones reales se define de la misma manera. El límite superior y el límite inferior son un sustituto parcial para el límite, si es que éste no existe.

Definición formal

Formalmente el límite inferior de una sucesión $(x_n)$ se define como

$\sup_{n\geq 0}\,\inf_{k\geq n}x_k=\sup\{\inf\{x_k:k\geq n\}:n\geq 0\}$

o también como

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\inf_{k\geq n}x_k\right)$

y se denota como $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n$ o como $\varliminf_{n\rightarrow\infty}x_n$. Análogamente se define $\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\varlimsup_{n\rightarrow\infty}x_n=\inf_{n\geq 0}\,\sup_{k\geq n}x_k=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\sup_{k\geq n}x_k\right)$.

Estas definiciones son útiles en un conjunto parcialmente ordenado en un sentido cuantitativo, y proporcionan que el supremo y el ínfimo existan. En una red reticular completa siempre existen estos valores, por lo que en este caso, cada secuencia tiene un límite inferior y límite superior asociado.

Si existe el límite inferior y el límite superior de una sucesión $(x_n)$, se cumple que $\liminf_{n\rightarrow\infty}x_n\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}x_n\;.$

Bibliografía

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. Editorial De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-2 (edición de bolsillo), p. 93 (en Sucesiones de conjuntos).