K-teoría

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La K-teoría es una teoría inicialmente desarrollada para estudiar sistemáticamente el estudio de haces coherentes en variedades algebraicas y los fibrados vectoriales en variedades diferenciales.

Definiciones[editar]

Sea X un espacio topológico compacto y Vect(X,C,n) el conjunto de clases de isomorfismo de fibrados complexos de rango n sobre X, este conjunto tiene la estructura de un monoide abeliano con la suma de Whitney de fibrados vectoriales. Análogamente, Vect(X,R,n) para fibrados reales. Las sumas directas para cada n\geq 0 dan lugar a los monoides abelianos de clases de isomorfismo de fibrados vectoriales

 Vect(X,\mathbb{C})=\oplus_{n\geq 0}Vect(X,\mathbb{C},n),\qquad  Vect(X,\mathbb{R})=\oplus_{n\geq 0}Vect(X,\mathbb{R},n).

La K-teoría compleja K(X) asociada a X se define como el grupo de Grothendieck asociado al primer monoide, mientras que la K-teoría real KO(X) asociada a X es la compleción del segundo monoide. Los elementos de la K-teoría son fibrados virtuales.

La K-teoría real se llama también ortogonal. El origen de la denominación es la palabra klasse, refiriéndose al concepto de clase en alemán.

El producto tensorial de fibrados vectoriales dota a K(X) y KO(X) de la estructura de anillo conmutativo. Alternativamente, Vect(X,C,n) es un semi-anillo respecto el producto tensorial y la compleción de Grothendieck da lugar a este mismo anillo. Si f:X\longrightarrow Y es una aplicación contínua entre espacios topológicos, el pull-back de fibrados vectoriales por f induce morfismos de anillos

 f^*:K(Y)\longrightarrow K(X),\qquad f^*:KO(Y)\longrightarrow KO(X).

Se puede comprobar que dos aplicaciones f\simeq g:X\longrightarrow Y homotópicas inducen el mismo morfismo f^*=g^*. Estas propiedades se pueden sintetizar diciendo que las asignaciones

 X\longmapsto K(X),\qquad X\longmapsto KO(X)

definen functores contravariantes de la categoría de espacios topológicas con morfismos clases de homotopía de aplicaciones a la categoría de anillos y morfismos de anillos.

K-teoría reducida[editar]

La K-teoría compleja y real de un punto X=pt. es isomorfa a los enteros Z, el isomorfismo dado por el rango. Dado un punto x\in X se induce un morfismo de K(X) a Z y se define la K-teoría reducida de un espacio X como

\widetilde{K}(X):=\ker\{K(X)\longrightarrow\mathbb{Z}\}

Nótese que la K-teoría reducida de X es un ideal de la K-teoría de X y dado que no es isomorfo al anillo total no contiene la identidad, el fibrado de línea trivial. Además, se tiene

K(X)\cong\widetilde{K}(X)\times\mathbb{Z}

Ejemplos[editar]

En KO(\mathbb{R}\mathbb{P}^n) el fibrado tangente del espacio proyectivo real satisface la ecuación

 [T\mathbb{R}\mathbb{P}^n]+[\varepsilon]=(n+1)[\gamma_1^*]

con \gamma_1 denota el fibrado tautológico y [\varepsilon] denota la clase del fibrado trivial de rango 1. En efecto, la aplicación enviando la recta definida por un vector tangente a una recta del espacio ortogonal define un isomorfismo

 T\mathbb{R}\mathbb{P}^n\cong Hom(\gamma_1,\gamma_1^\perp)

La igualdad en K-teoría se deduce del hecho que Hom(\gamma_1,\gamma_1) tiene una sección global, la identidad, y luego es trivial:

 T\mathbb{R}\mathbb{P}^n\oplus \varepsilon\cong Hom(\gamma_1,\gamma_1^\perp)\oplus Hom(\gamma_1,\gamma_1)\cong Hom(\gamma_1,\gamma_1\oplus\gamma_1^\perp)\cong Hom(\gamma_1,\varepsilon^{n+1})\cong\oplus^{n+1}\gamma_1^*

Análogamente en K(\mathbb{C}\mathbb{P}^n) se tiene

 [T\mathbb{C}\mathbb{P}^n]+[\varepsilon]=(n+1)[\gamma_1^*]

Un ejemplo fundamental en la teoría es el cálculo de \widetilde{K}(S^2)\cong\mathbb{Z}.

Estabilidad[editar]

Sean E,F fibrados vectoriales sobre X, E y F son establemente isomorfos si existen dos naturales n,m tales que

E\oplus\varepsilon^n\cong F\oplus\varepsilon^m

Si se requiere adicionalmente n=m se dice que los fibrados son estrictamente establemente isomorfos. Por ejemplo, T\mathbb{R}\mathbb{P}^n y \oplus^{n+1}\gamma_1^* son establemente isomorfos, no estrictamente.

Entonces el resultado que da sentido geométrico a la K-teoría es el siguiente

Teorema: Existe un isomorfismo de grupos entre el grupo de clases de isomorfismos estables de fibrados sobre X y la K-teoría reducida de X.

El hecho topológico esencial para demostrar el teorema es la existencia de un fibrado ortogonal trivializante. De forma precisa, dado un fibrado E\in Vect(X,\mathbb{C},n) existe un fibrado E' tal que

E\oplus E'\cong \varepsilon^s\in\mathbb{N}

para algún natural s. Esto permite escribir un fibrado virtual como diferencia de una clase de fibrado en Vect(X,C,n) y un múltiplo de la clase trivial. El isomorfismo viene dado por esta asociación, enviando E a la diferencia de E y el rango. La palabra estable en este contexto no tiene relación con la estabilidad de fibrados definida por la condición GIT.

Esferas[editar]

En esta sección estudiamos la K-teoría reducida de una esfera S^k. Teniendo en cuenta que las esferas se obtienen por suspension de una esfera de dimensión inferior, S^k=\Sigma S^{k-1}, y que la suspensión es el functor adjunto por la izquierda del functor espacio de lazas \Omega obtenemos las siguientes biyecciones

Vect(S^k,\mathbb{C},n)\cong [\Sigma S^{k-1},BGl(\mathbb{C},n)]\cong [S^{k-1},\Omega BGl(\mathbb{C},n)]\cong[S^{k-1},Gl(\mathbb{C},n)]

El último conjunto es en biyección con el grupo de homotopía (k-1)-ésimo de Gl(C,n), como este grupo retrae a U(n) concluimos

Vect(S^k,\mathbb{C},n)\longleftrightarrow\pi_{k-1}(U(n))

Para entender la K-teoría es necesario tener en cuenta todas los posibles rangos n. El resultado principal es el siguiente isomorfismo de grupos:

Teorema: \widetilde{K}(S^k)\cong\pi_{k-1}(\cup_n U(n)).

Los grupos estables de homotopía se deducen directamente del teorema de periodicidad de Bott. En particular, \widetilde{K}(S^2)\cong\pi_1(\cup_n U(n))\cong\mathbb{Z}.

Para la K-teoría no reducida el caso de la 2-esfera es el primer caso relevante y permite el cálculo de la K-teoría de ciertas suspensiones iteradas de un espacio.

Teorema: K(S^2) es un anillo generado por el fibrado de línea canónico \gamma_1 sobre S^2\cong\mathbb{C}\mathbb{P}^1 con la relación ([\gamma_1]-[\varepsilon])^2=0.

La relación se deduce directamente del cálculo en la sección de ejemplos usando que TS^2\cong\gamma_1^2.

Referencias[editar]

Enlaces externos[editar]