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Una involución es una función del tipo:
f
:
X
→
X
{\displaystyle f:X\to X}
En matemática , una involución o función involutiva es una función matemática que es su propia inversa:
Definida la función:
f
:
A
⟶
A
x
⟼
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&A&\longrightarrow &A\\&x&\longmapsto &y=f(x)\end{array}}}
Esta función cumple la propiedad involutiva si:
∀
x
∈
A
:
f
(
f
(
x
)
)
=
x
{\displaystyle \forall x\in A\;:\quad f(f(x))=x}
para todo x de A , se cumple que la función de la función de x es x .
O, de otra manera:
f
(
x
)
=
y
{\displaystyle f(x)=y\,}
f
(
y
)
=
x
{\displaystyle f(y)=x\,}
Toda involución es una aplicación biyectiva . La función identidad es un ejemplo trivial de involución:
i
d
:
A
⟶
A
a
⟼
b
=
i
d
(
a
)
≡
b
=
a
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}id:&A&\longrightarrow &A\\&a&\longmapsto &b=id(a)\quad \equiv \quad b=a\end{array}}}
esto es:
∀
a
∈
A
:
i
d
(
i
d
(
a
)
)
=
a
{\displaystyle \forall a\in A\;:\quad id(id(a))=a}
para todo a de A , se cumple que la identidad de la identidad de a es a .
El número de involuciones existentes en un conjunto de n elementos viene dado por la siguiente relación de recurrencia :
a
0
=
a
1
=
1
{\displaystyle a_{0}=a_{1}=1\,}
a
n
=
a
n
−
1
+
(
n
−
1
)
a
n
−
2
(
s
i
n
>
1
)
{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+(n-1)\,a_{n-2}\quad (si\quad n>1)}
Los primeros términos de esta secuencia son 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, etc.[ 1]
Ejemplos sencillos son la multiplicación por −1 un número real:
f
:
R
⟶
R
x
⟼
y
=
−
x
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&R&\longrightarrow &R\\&x&\longmapsto &y=-x\end{array}}}
dado que:
∀
x
∈
R
:
−
(
−
x
)
=
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} \;:\quad -(-x)=x}
Para todo x número real, se cumple que el opuesto del opuesto de x es x .
El inverso multiplicativo de números reales sin el cero:
f
:
R
∗
⟶
R
∗
x
⟼
y
=
1
x
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}f:&R^{*}&\longrightarrow &R^{*}\\&x&\longmapsto &y={\cfrac {1}{x}}\end{array}}}
si vemos que:
∀
x
∈
R
∗
=
R
∖
{
0
}
:
1
1
x
=
x
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}=\mathbb {R} \setminus \{0\}\;:\quad {\cfrac {1}{\cfrac {1}{x}}}=x}
El complemento de un conjunto en teoría de conjuntos :
c
:
U
⟶
U
A
⟼
B
=
A
c
{\displaystyle {\begin{array}{rccl}{}^{c}:&\mathbb {U} &\longrightarrow &\mathbb {U} \\&A&\longmapsto &B=A^{c}\end{array}}}
dado que:
∀
A
∈
U
:
(
A
c
)
c
=
A
{\displaystyle \forall A\in \mathbb {U} \;:\quad {(A^{c})}^{c}=A}
Los complejos conjugados (
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
variable compleja ; la inversión geométrica ; y cifrados como el ROT13 y el de Trithemius .
Todd A. Ell; Stephen J. Sangwine (2007), «Quaternion involutions and anti-involutions», Computers & Mathematics with Applications 53 (1): 137-143, doi :10.1016/j.camwa.2006.10.029 
Datos: Q846862