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Función simétrica monomial

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Las funciones simétricas monomiales son una clase especial de funciones simétricas que forman la base más simple del espacio vectorial de funciones simétricas.

Definición

Si es una partición, se construye el monomio

.

La suma de tales monomios sobre todas las permutaciones distintas de , da como resultado un polinomio simétrico denotado .

(Función simétrica monomial) La función simétrica monomial asociada a la partición es la suma

,

donde recorre todas las permutaciones distintas de .


Ejemplos

Las funciones simétricas monomiales en cuatro variables para las particiones más pequeñas son:

  • .
  • .
  • .
  • .
  • .
  • .

Obsérvese que en sólo aparece y no , porque ambas corresponden a la misma permutación de la partición . En particular, se consideran todas las particiones de un entero como si tuvieran partes, añadiendo entradas cero de ser necesario.

Propiedades

Cualquier función simétrica en n variables

puede reescribirse en términos de funciones simétricas monomiales como

,

por lo que el conjunto de funciones simétricas monomiales indizadas por las particiones de n

forma una base del espacio vectorial de funciones simétricas en n variables.

Una consecuencia de la relación anterior es el siguiente teorema.

La dimensión del espacio vectorial sobre de funciones simétricas en n variables es igual al número de particiones del entero n, y el conjunto de funciones simétricas monomiales es una base de dicho espacio vectorial.