Función analítica
En matemáticas una función analítica es aquella que puede expresarse como una serie de potencias convergente. Una función analítica es suave: tiene infinitas derivadas. La noción de función analítica puede definirse para funciones reales o complejas, aunque ambos conjuntos tienen propiedades distintas. Las funciones complejas derivables en un abierto siempre son analíticas, y se denominan funciones holomorfas. Sin embargo, una función real infinitamente derivable no es necesariamente analítica.
Definición
La definición de función analítica es idéntica para los casos real y complejo:
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De esta definición se puede demostrar la siguiente caracterización alternativa:
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Una función se dice analítica en un conjunto U si es analítica en cada punto de U. El conjunto de todas las funciones analíticas en un cierto abierto U se denota por Cω(U).
Varias variables
La definición de función analítica puede extenderse para funciones (reales o complejas) de varias variables (definidas en Rn o Cn), sin más que considerar series de potencias de varias variables:
Funciones holomorfas
En el caso de las funciones complejas analíticas, existe un teorema que las caracteriza de manera mucho más sencilla, y que constituye uno de los rasgos fundamentales del análisis complejo:
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Un teorema similar se aplica en el caso de funciones complejas de varias variables que sean diferenciables:
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Funciones suaves no analíticas
En variable real pueden encontrarse funciones suaves que no son analíticas. Un ejemplo de ello es la función:
Esta función es infinitamente derivable para cualquier x ∈ R, y en particular todas sus derivadas en 0 son nulas: f(n)(0) = 0. Por tanto, su serie de Taylor alrededor de 0 es identicamente nula, y en ningún entorno de dicho punto coinciden la función y la serie de Taylor.
Referencias
- Krantz, Steven; Parks, Harold (1992). A primer of real analytic functions (en inglés). Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2768-5. Capítulo 1.
- Scheidemann, Volker (2005). Introduction to complex analysis in several variables (en inglés). Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7490-X. Capítulo 1.
Enlaces externos
- Weisstein, Eric W. «Analytic Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
- Weisstein, Eric W. «Real Analytic Function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.