Función suma indicatriz

En teoría de números, la función suma indicatriz $\Phi (n)$ es una función sumatoria de la función indicatriz de Euler definida como:

\Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N}

Propiedades[editar]

Usando inversión de Möbius a la función indicatriz, se obtiene

\Phi (n)=\sum _{k=1}^{n}k\sum _{d\mid k}{\frac {\mu (d)}{d}}={\frac {1}{2}}\left(1+\sum _{k=1}^{n}\mu (k)\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor ^{2}\right)

$Φ(n)$ tiene la expansión asintótica

\Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}n^{2}+O\left(n\log n\right),

donde $ζ(2)$ es la función zeta de Riemann para el valor 2.

El sumatorio de la función indicatriz inversa[editar]

El sumatorio de la función indicatriz inversa se define como

S(n):=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\varphi (k)}}

Edmund Landau mostró en 1900 que esta función tiene el comportamiento asintótico

S(n)\sim A(\gamma +\log n)+B+O\left({\frac {\log n}{n}}\right)

donde $γ$ es la constante de Euler-Mascheroni,

A=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}}{k\varphi (k)}}={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)

y

B=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\mu (k)^{2}\log k}{k\,\varphi (k)}}=A\,\prod _{p}\left({\frac {\log p}{p^{2}-p+1}}\right).

La constante $A = 1.943596...$ es conocida a veces como constante indicatriz de Landau. La suma $\textstyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}$ es convergente e igual a:

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\varphi (k)}}=\zeta (2)\prod _{p}\left(1+{\frac {1}{p^{2}(p-1)}}\right)=2.20386\ldots

En este caso, el producto sobre los números primos en la parte derecha es una constante conocida como constante sumatorio indicatriz,^[1] y su valor es: