Teorema de Liouville (análisis complejo)

En matemáticas, y en particular en el análisis complejo, el teorema de Liouville afirma que si una función es holomorfa en todo el plano complejo y está acotada, entonces es constante. Nótese que esta afirmación es falsa en los números reales (tómese, por ejemplo, la función $\cos(x)$, que está acotada pero no es constante).

Enunciado del teorema

Sea $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ una función entera​ y acotada, es decir, existe $M>0$ tal que

$|f(z)|<M\quad \forall z\in \mathbb {C}$;

entonces resulta que $f$ es constante.

Una versión más general de este teorema afirma que si $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ es una función entera y si $\forall z\in \mathbb {C}$ se tiene que $|f(z)|\leq C+D|z|^{n}$, con $C,\;D>0$ para algún $n\in \mathbb {N} _{0}$, entonces $f$ debe ser un polinomio de grado a lo más $n$. Como consecuencia directa de lo anterior, si $|f(z)|\leq |p(z)|,\;\forall z\in \mathbb {C}$, con $p(z)\in \mathbb {C} [z]$, un polinomio de grado $n$, entonces $f$ es un polinomio de grado a lo más $n$.

Demostración

La fórmula integral de Cauchy dice que

$f'(z)={\frac {1}{2\pi \,i}}\oint _{|z-\zeta |=r}{\frac {f(\zeta )}{(z-\zeta )^{2}}}d\zeta .$

De modo que

$|f'(z)|\leq {\frac {1}{2\pi }}{\frac {M}{r^{2}}}\,2\pi \,r={\frac {M}{r}}.$

Como podemos elegir $r$ tan grande como queramos, concluimos que $f'(z)=0$ para todo $z$ en $\mathbb {C}$. Finalmente, como $f$ está definida sobre un conjunto simplemente conexo, entonces f debe ser constante.

Teorema de Liouville y teorema fundamental del álgebra

El teorema de Liouville entrega una demostración simple del teorema fundamental del álgebra, es decir, de que todo polinomio no constante a coeficientes en $\mathbb {C}$ tiene una raíz en $\mathbb {C}$. La demostración es la siguiente:

Sea $P(z)$ un polinomio no constante, y supongamos que no tiene raíces. Luego, como todos los polinomios son funciones enteras, se tiene que $Q(z)={\frac {1}{P(z)}}$ resulta ser también una función entera. Pero $lim_{z\rightarrow \infty }|P(z)|=\infty$ (eso siempre ocurre para polinomios no constantes), luego $lim_{z\rightarrow \infty }|Q(z)|=0$, por lo que $Q$ resulta ser una función acotada. Luego, por el teorema de Liouville, $Q$ es una función constante, por lo que $P$ también lo será. Eso contradice nuestra hipótesis inicial, y se concluye que entonces $P$ debe tener una raíz.

Notar que se sigue fácilmente que entonces $P$ tiene tantas raíces como su grado (contando multiplicidad), pues basta dividir cada vez $P$ por $(z-z_{0})$, donde $z_{0}$ es la raíz recién encontrada.

Consecuencias

Espectro de un operador

Una de las consecuencias interesantes del teorema de Liouville es que el espectro de un operador necesariamente es un conjunto no-vacío. Para verlo, veamos que el hecho de que fuera vacío contradice el teorema de Liouville. Si dicho espectro fuera vacío entonces la norma de la función resolvente:

$\rho :\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} \qquad \lambda \mapsto \rho _{\lambda }=\|(\lambda I-B)^{-1}\|$

Donde $B\;$ es un operador acotado de un espacio de Banach, estaría definida en todo el plano complejo y sería holomorfa y acotada. Y eso implica que la función sería constante por el teorema de Liouville. Y dado que:

$\lim _{\lambda \to \infty }\rho _{\lambda }=0$

Por ser constante, tendría que ser 0 en todos sitios y eso contradeciría el hecho de que el resolvente sea un operador lineal acotado.