Grado (polinomio)

En álgebra la palabra grado tiene básicamente el mismo significado cuando se refiere a un polinomio o a una ecuación algebraica.

Grado de un polinomio

Dado un polinomio $P$ en una cierta variable $x$, su grado es el máximo de los exponentes de $x$ en los distintos monomios del polinomio. Se suele denotar como $\mathrm {gr} (P(x))$, y se puede omitir la variable si no hay posibilidad de confusión.

Ejemplo: $P(x)=x^{5}+4x^{3}-x^{7}+x+6x^{2}-5\quad \Rightarrow \quad \mathrm {gr} (P)=7\quad [=\mathrm {gr} (-x^{7})]$=( . )( . )

"La misma definición se aplica en este caso: el grado de un polinomio es el máximo de los grados de sus monomios.

Ejemplo: $Q(x,y,z)=2x^{2}yz+4x^{3}y^{2}-z+7x+6y^{2}z^{4}-5\quad \Rightarrow \quad \mathrm {gr} (Q)=6\quad [=\mathrm {gr} (6y^{2}z^{4})]$

Ecuaciones con una sola incógnita

Una ecuación algebraica con una incógnita es una igualdad entre dos miembros (los dos lados del signo "=") son polinomios. Por ejemplo: $2x^{3}+6x-4=1-x^{2}$ es una ecuación algebraica que lleva (la $x$). El grado de una ecuación es el mayor de todos los exponentes a los que está elevada la incógnita. En el ejemplo propuesto antes, el grado de la ecuación es 3.

Ecuaciones con varias incógnitas

Cuando tenemos una ecuación algebraica con varias incógnitas, se estudia el grado de distinta manera. Un monomio es un producto de incógnitas, multiplicadas a su vez por números. Por ejemplo, $xy$ es un monomio, porque sería la multiplicación de las incógnitas $x$ e $y$, y a su vez está multiplicado todo por 1 (que no se pone porque multiplicar por 1 es como no hacer nada). Otro ejemplo de monomio sería $-{\frac {7}{3}}x^{3}y^{2}z^{6}$. Aquí las incógnitas son $x$, $y$, $z$, se multiplican así: la $x$ se multiplica tres veces a sí misma (porque $x^{3}=x\cdot x\cdot x$), la $y$ se multiplica dos veces a sí misma, la $z$ se multiplica seis veces a sí misma, y los tres resultados se multiplican entre sí. Finalmente se multiplica todo por el número $-{\frac {7}{3}}$.

Para calcular el grado de una ecuación con varias incógnitas, antes hemos de calcular los grados de cada uno de los monomios que aparecen en la ecuación. El grado de un monomio se calcula sumando los exponentes de las incógnitas que aparecen en el monomio. Por ejemplo, el grado del monomio $xy$ es 2, porque es la suma del exponente de $x$ (que es 1, porque $x=x^{1}$) y del exponente de $y$ (que también es 1). El grado del monomio ${\frac {7}{3}}x^{3}y^{2}z^{6}$ es 11, que es la suma de 3 (exponente de $x$), 2 (exponente de $y$) y 6 (exponente de $z$). Nótese que el grado del monomio $5x^{2}$ sería 2, o sea, sería el exponente de la incógnita, y que siempre podemos considerar que en un monomio aparecen todas las incógnitas que hay en la ecuación, con sólo considerar que están elevadas al exponente 0. Por ejemplo, en la ecuación $xy-13y^{3}=4$ los monomios son $xy$ (aparecen las dos incógnitas de la ecuación, y su grado es 2), $-13y^{3}$ (aparece sólo la incógnita $y$, pero podemos considerar que aparece también $x$ con exponente 0, puesto que $x^{0}=1$) y $4$ (no aparecen ni $x$ ni $y$, pero podemos considerar que aparecen como $x^{0}y^{0}$). Así, podemos ver la ecuación como $xy-13x^{0}y^{3}=4x^{0}y^{0}$. Esto no cambia el grado de ninguno de los monomios. El monomio 4 tiene entonces grado 0.

Ahora estamos en condiciones de calcular el grado de una ecuación de varias incógnitas. Este es el mayor de los grados de todos los monomios que aparecen en la ecuación. Por ejemplo, en la ecuación $xy-13y^{3}=4$ el grado es 3, que el el grado más grande entre los grados de todos los monomios de la ecuación (que son 2, 3 y 0).

Es fácil ver que el grado de una ecuación con una incógnita no es otra cosa que un caso particular del grado de una ecuación con varias incógnitas.