Espiral de Arquímedes

La espiral de Arquímedes (también espiral aritmética) obtuvo su nombre del matemático siciliano Arquímedes, quien vivió en el siglo III antes de Cristo. Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a Velocidad Angular constante.

En coordenadas polares (r, θ) la espiral de Arquímedes puede ser descrita por la ecuación siguiente:

$\,r=a+b\theta$

siendo a y b números reales. Cuando el parámetro a cambia, la espiral gira, mientras que b controla la distancia en giros sucesivos.

Arquímedes describió esta espiral en su libro De las Espirales.

Esta curva se distingue de la espiral logarítmica por el hecho de que vueltas sucesivas de la misma tienen distancias de separación constantes (iguales a 2πb si θ es medido en radianes), mientras que en una espiral logarítmica la separación está dada por una progresión geométrica.

Hay que notar que la espiral de Arquímedes tiene dos brazos, uno para θ > 0 y otro para θ < 0. Los dos brazos están discretamente conectados en el origen y sólo se muestra uno de ellos en la gráfica. Tomando la imagen reflejada en el eje Y produciremos el otro brazo.

A veces, el término es usado para un grupo más general de espirales.

$r=a+b\theta ^{1\!/\!x}.$

La espiral normal ocurre cuando x = 1. Otras espirales que caen dentro del grupo incluyen la espiral hiperbólica, la espiral de Fermat, y el Lituus. Virtualmente todas las espirales estáticas que aparecen en la naturaleza son espirales logarítmicas, no de Arquímedes. Muchas espirales dinámicas (como la espiral de Parker del viento solar, o el patrón producido por una rueda de Catherine) son del grupo de Arquímedes.

Aplicaciones

Mechanism of a scroll pump

La espiral de Arquímedes tiene una plétora de aplicaciones. Por ejemplo, se emplean muelles de compresión, hechos de dos espirales de Arquímedes del mismo tamaño intercaladas, para comprimir líquidos y gases.

Los surcos de las primeras grabaciones para gramófonos (Disco de vinilo) forman una espiral de Arquímedes, haciendo los surcos igualmente espaciados y maximizando el tiempo de grabación que podría acomodarse dentro de la grabación (aunque esto fue cambiado posteriormente para incrementar la cantidad del sonido).

Pedirle a un paciente que dibuje una espiral de Arquímedes es una manera de cuantificar el temblor humano; esta información ayuda en el diagnóstico de enfermedades neurológicas. Estas espirales son también usadas en sistemas DLP de proyección para minimizar el efecto de arcoiris, que simula un despliegue de varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad se proyectan ciclos de rojo, verde y azul rápidamente.

Un método para la cuadratura del círculo, relajando las limitaciones estrictas en el uso de una regla y un compás en las pruebas geométricas de la Grecia antigua, hace uso de la Espiral de Arquímedes. También existe un método para trisectar ángulos basado en el uso de esta espiral.

Véase también

• Espiral logarítmica
• Coordenadas polares
• Espiral de Fermat
• Espiral hiperbólica
• Arquímedes

Referencias

Archimedean spiral wikipedia english

Enlaces externos

• Ministerio de Educación y Ciencia de España, la espiral de Arquímedes.
• Ministerio de Educación y Ciencia de España, Espiral y Matemática, sobre su historia.
• FooPlot (herramienta que puede mostrar gráficas de funciones en coordenadas polares).
• Universidad de Sevilla, Departamento de tecnología energética, grupo de termotecnia, Tecnología Frigorífica.
• Oficina Española de Patentes y Marcas, Compresor Espiral (pdf)
• Mac TUtor History of Mathematics Archive, Spiral of Archimedes