Movimiento circular uniforme

El módulo del vector velocidad es constante en un movimiento circular uniforme.

En física, el movimiento circular uniforme describe el movimiento de un cuerpo atravesando, con rapidez constante, una trayectoria circular.

Aunque la rapidez del objeto es constante, su velocidad no lo es: La velocidad, una magnitud vectorial, tangente a la trayectoria, en cada instante cambia de dirección. Esta circunstancia implica la existencia de una aceleración que, si bien en este caso no varía al módulo de la velocidad, sí varía su dirección.

Cinemática

Ángulo y velocidad angular

El ángulo abarcado en un movimiento circular es igual a la longitud del arco de circunferencia recorrida entre el radio:

$\varphi ={\frac {\mbox{arco}}{\mbox{radio}}}$

La longitud del arco y el radio de la circunferencia son magnitudes de longitud, por lo que el desplazamiento angular es una magnitud adimensional, llamada radián. Un radián es un arco de circunferencia de longitud igual al radio de la circunferencia, y la circunferencia completa tiene $2\pi \,$ radianes.

La velocidad angular es la variación del desplazamiento angular por unidad de tiempo:

$\omega ={\frac {d\varphi }{dt}}$

Partiendo de estos conceptos se estudian las condiciones del movimiento circular uniforme, en cuanto a su trayectoria y espacio recorrido, velocidad y aceleración, según el modelo fisico cinemático.

Vector de posición

Se considera un sistema de referencia en el plano xy, con vectores unitarios en el sentido de estos ejes $({\text{O}};\mathbf {i} ,\mathbf {j} )$. La posición de la partícula en función del ángulo de giro $\varphi$ y del radio r es en un sistema de referencia cartesiano xy:

${\begin{cases}x=r\cos \varphi \\y=r\sin \varphi \end{cases}}$

Al ser un movimiento uniforme, a iguales incrementos de tiempo le corresponden iguales desplazamientos angulares, lo que se traduce en:

$\omega ={\frac {d\varphi }{dt}}={\frac {\varphi }{t}}\qquad \Rightarrow \qquad \varphi =\omega {t}$

De modo que el vector de posición de la partícula en función del tiempo es:

$\mathbf {r} =r\cos(\omega t)\mathbf {i} +r\sin(\omega t)\mathbf {j}$

siendo:

$\mathbf {r} \;$: es el vector de posición de la partícula.

$r\;$: es el radio de la trayectoria.

$\omega \;$: es la velocidad angular (constante).

$t\;$: es el tiempo.

Velocidad

La velocidad se obtiene a partir del vector de posición mediante derivación:

$\mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}=-r\omega \sin(\omega t)\mathbf {i} +r\omega \cos(\omega t)\mathbf {j}$

El vector velocidad es tangente a la trayectoria, lo que puede comprobarse fácilmente efectuando el producto escalar $\mathbf {r} \cdot \mathbf {v}$ y comprobando que es nulo.

Aceleración

La aceleración se obtiene a partir del vector velocidad mediante derivación:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-r\omega ^{2}\cos(\omega t)\mathbf {i} -r\omega ^{2}\sin(\omega t)\mathbf {j}$

de modo que

$\mathbf {a} =-\omega ^{2}\mathbf {r}$

Así pues, vector aceleración tiene la misma dirección y sentido opuesto que el vector de posición, normal a la trayectoria y apuntando siempre hacia el centro de la trayectoria circular. por lo que acostubramos a referirnos a ella como aceleración normal o centrípeta.

El módulo de la aceleración es el cuadrado de la velocidad angular por el radio de giro, aunque lo podemos expresar también en función de la celeridad $v\,$ de la partícula, ya que, en virtud de la relación $v=\omega r\,$, resulta

$a=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}$

Esta aceleración es la única que experimenta la partícula cuando se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular, por lo que la pratícula deberá ser atraída hacia en centro mediante una fuerza centrípeta que la aparte de una trayectoria rectilínea, como correspondería por la ley de inercia.

Período y frecuencia

El periodo $T\,$ representa el tiempo necesario para que el móvil complete una vuelta completa y viene dado por:

$T={\frac {2\,\pi }{\omega }}$

La frecuencia $f\,$ mide el número de revoluciones o vueltas completadas por el móvil en la unidad de tiempo y viene dada por:

$f={\frac {\omega }{2\,\pi }}$

Obviamente, la frecuencia la inversa del período:

$f={\frac {1}{T}}$

Véase también

• Movimiento armónico simple
• Movimiento circular
• Cinemática

Referencia

Bibliografía

• Ortega, Manuel R. (1989-2006). Lecciones de Física (4 volúmenes). Monytex. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7. 
• Resnick, Robert & Halliday, David (2004). Física 4ª. CECSA, México. ISBN 970-24-0257-3. 
• Tipler, Paul A. (2000). Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes). Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4382-3. 

Enlaces externos

• Curso Interactivo de Física en Internet. Ángel Franco García.