Límite de una sucesión

$a_{n}={\begin{cases}16&{\mbox{si }}n=0\\{\cfrac {a_{n-1}}{2}}&{\mbox{si }}n>0\end{cases}}$

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.

La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite (Véase sucesión de Cauchy).

Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.

Límite de una sucesión de números reales

Definición formal

Una sucesión {$x_{n}$}$_{n\geq 1}$ tiene límite l, cuando n tiende a $\infty$, si para todo valor ε por pequeño que sea, hay un valor $n_{0}$ a partir del cual si $n>n_{0}$ tenemos que la distancia de l a $x_{n}$ es menor que ε, es decir:

$\forall$ ε>0,$\exists$ n>0 :$\forall n>n_{0},d(x_{n},l)$<ε.

Notación

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=l$

o bien

$x_{n}{\xrightarrow[{\;\;n\to \infty \;\;}]{}}l$

Ejemplos

• La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
• La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
• La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
• Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión aⁿ posee limite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a^1/n posee límite 1.
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n^{p}}}=0{\hbox{ si }}p>0$
• $\lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1$
• $\lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ si }}a>0$
  

Propiedades

• Si una sucesión (an ) tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
• Si una sucesión (an ) tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
• Si una sucesión converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cada uno de los términos de la sucesión.
• Si una sucesion (an) tiende a menos infinito y (an) < 0 entonces $1/an$ tiende a 0

Límite en un espacio métrico

Para una sucesión de puntos $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$ en un espacio métrico M con función de distancia d

(como por ejemplo, una sucesión de números racionales, números reales, números complejos, puntos en un espacio normado, etc.):

Si $L\ enM\;$ se dice que L es el límite de la sucesión y se escribe

$L=\ lim_{n\to \infty }x_{n}$

$\Longleftrightarrow \forall \epsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow d(x_{n},L)<\epsilon .\;$

i.e.:si y solo si para todo (hodap) número real $\epsilon >0\;$, existe un número natural N tal que para cada $n>N\;$, se satisface que $d(x_{n},L)<\epsilon .\;$

Límite en un espacio topológico

Una generalización de esta relación, para una sucesión de puntos $\{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\;$ en un espacio topológico T:

Si $L\in T\;$ se dice que L es un límite de esta sucesión y se escribe

$L=\lim _{n\to \infty }x_{n}$

si y solo si para todo entorno S de L existe un número natural N tal que $x_{n}\in S\;$ para todo $n>N.\;$

De forma intuitiva, suponiendo que se tiene una sucesión de puntos (por ejemplo un conjunto infinito de puntos numerados utilizando los números naturales) en algún tipo de objeto matemático (por ejemplo los números reales o un espacio vectorial) que admite el concepto de entorno (en el sentido de "todos los puntos dentro de una cierta distancia de un dado punto fijo"). Un punto L es el límite de la sucesión si para todo entorno que se defina, todos los puntos de la sucesión (con la posible excepción de un número finito de puntos) están próximos a L. Esto puede ser interpretado como si hubiera un conjunto de esferas de tamaños decrecientes hasta cero, todas centradas en L, y para cualquiera de estas esferas, solo existiera un número finito de números fuera de ella.

Es posible también que una sucesión en un espacio topológico general, pueda tener varios límites diferentes, pero una sucesión convergente posee un único límite si T es un espacio de Hausdorff, por ejemplo la recta real (extendida), el plano complejo, sus subconjuntos (R, Q, Z...) y productos cartesianos (Rⁿ...).

Enlaces externos

• Ejemplos de sucesiones