Paralelismo (matemática)

Líneas paralelas.

En geometría, Paralelismo es una relación que se establece entre rectas o planos.

Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si bien son una y la misma recta o por el contrario no comparten ningún punto.

De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.

Notación

$a\parallel b$ (recta a paralela a b)

Axioma de unicidad

El axioma que distinge a la geometría euclídea de otras geometrías es el siguiente: En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades

• Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma:

a || a

• Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera:

Si a || b $\Rightarrow$ b || a

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad.

• Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera:

Si a || b $\wedge$ b || c $\Rightarrow$ a || c

Teoremas

• En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

• Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano).

Las demostraciones de estos dos teoremas y la tercera propiedad, usan el axioma de unicidad.