Función compuesta

g o f, es la aplicación resultante de la aplicación sucesiva de f y de g. En el ejemplo, (g o f)(a)=@.

En matemática, una función compuesta es una función formada por la composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo anterior se le aplica finalmente la función restante.

Formalmente, dadas dos funciones f: X → Y y g: Y → Z, donde la imagen de f está contenida en el dominio de g, se define la función composición (g ο f ): X → Z como (g ο f)(x) = g (f(x)), para todos los elementos x de X.

$X\to \,\,Y\;\;\to \;\;\,Z$

$x\mapsto f(x)\mapsto g(f(x))$

A g ο f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.

Ejemplo

Sean las funciones:

$f(x)=x^{2}\,$

$g(x)=sin(x)\,$

La función compuesta de g y de f que expresamos:

$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(sin(x))^{2}=sin^{2}(x)\,$

La interpretación de (f o g) aplicada a la variable x significa que primero tenemos que aplicar g a x, con lo que obtendríamos un valor de paso

$z=g(x)=sin(x)\,$

y después aplicamos f a z para obtener

$y=f(z)=z^{2}=sin^{2}(x)\,$

Función bien definida

La función compuesta está bien definida, pues cumple con las dos condiciones de existencia y unicidad, propias de toda función:

1. Condición de existencia: dado x, conocemos (x, f(x)), puesto que conocemos la función f, y dado cualquier elemento y de B conocemos también (y, g(y)), puesto que conocemos la función g. Por tanto, (x, g( f(x)) ) está definido para todo x, y así (g ο f) cumple la condición de existencia.
2. Condición de unicidad: como f y g son funciones bien definidas, para cada x el valor de f(x) es único, y para cada f(x) también lo es el de g( f(x)).

Propiedades

• La composición de funciones es asociativa, es decir:

$h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f$

• La composición de funciones en general no es conmutativa, es decir:

$(g\circ f)\neq (f\circ g)$

Por ejemplo, dadas las funciones numéricas f(x)=x+1 y g(x)=x², entonces f(g(x))=x²+1, en tanto que g(f(x))=(x+1)².

• La inversa de la composición de dos funciones es:

$(g\circ f)^{-1}=f^{-1}\circ g^{-1}$