Cuantificador universal

En lógica matemática, se usa el símbolo $\forall$, denominado cuantificador universal, antepuesto a una variable para decir que "para todo" elemento de un cierto conjunto se cumple la proposición dada a continuación. En texto se puede representar con el carácter ∀.

Normalmente, en lógica, el conjunto al que se refiere es el universo o dominio de referencia, en el cual aparecen todas las constantes.

Ejemplo

Si tenemos dos conjuntos A y B; y A es un subconjunto de B:

$A\subset B\;\land \;A\not =B$

Todo elemento x de A pertenece a B:

$\forall x\in A\;\Rightarrow \;x\in B\,$

Al ser A y B conjuntos distintos, no todos los elementos y de B pertenecen a A:

$\lnot \forall y\in B\;\Rightarrow \;y\in A\,$

Que podemos leer: no para todos los elementos y de B, implica que y pertenece a A.

Relación cuantificador universal y el cuantificador existencial

Dada una expresión P(x), según el cuantificador universal se puede transformar en otra equivalente con el cuantificador existencial:

$\forall x\ P(x)\;\Leftrightarrow \;\lnot \exists x\ \lnot P(x)\,$

que podriamos leer: si para todo x se cumple P(x) no existe un x que no cumpla P(x).

Según el ejemplo anterior:

$\forall x\in A\;\Rightarrow \;x\in B\,$

Para todo x que pertenece a A implica que x pertenece a B, que podemos expresar:

$\lnot \exists x\in A\;\Rightarrow \;x\notin B\,$

No existe un x de A y que x no este en a B.

Véase también

• cuantificador existencial
• lógica de primer orden