Diferencia entre revisiones de «Forma cuadrática»
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Una forma cuadrática es por tanto un aplicación <math>f(x,x)=x\ B\ x</math> que es un [[polinomio]] de [[Polinomio cuadrático|segundo grado]] con varias variables. |
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Se le puede considerar un caso específico de forma bilineal. |
Se le puede considerar un caso específico de forma bilineal. |
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Otra definicion de formas cuadraticas es: |
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Una forma cuadrática en R3 es cualquier conjunto de puntos [[Archivo:<01.jpeg>|<varios>]] que satisface una ecuación del tipo: |
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xTAx=r, donde A es una matriz simétrica de 3x3 a coeficientes reales y r es un número real. |
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== Propiedades y ejemplos == |
== Propiedades y ejemplos == |
Revisión del 13:17 5 dic 2009
Una forma cuadrática es una aplicación del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:
- a) Existe una forma bilineal simétrica f de en el cuerpo K tal que . A f se le llama forma polar de .
- b) , . Además es una forma bilineal simétrica definida en y con valores en K. A se la llama forma cuadrática asociada a f.
Una forma cuadrática es por tanto un aplicación que es un polinomio de segundo grado con varias variables. Se le puede considerar un caso específico de forma bilineal.
Propiedades y ejemplos
- Cuando se dice que la forma cuadrática es real.
- Dos formas cuadráticas pueden ser:
- Linealmente equivalentes en si las signaturas de ambas formas cuadráticas coinciden.
- Linealmente equivalentes en si los rangos de las matrices de las formas cuadráticas coinciden.
- Métricamente equivalentes si poseen el mismo polinomio característico.
- Una forma cuadrática define un espacio vectorial euclídeo si y sólo si es definida positiva, lo cual se puede comprobar utilizando el criterio de Sylvester.
Signatura
La signatura de una forma cuadrática q:V-->R se llama al par (p,m) donde p es el número de elementos positivos que posee la diagonal de la matriz diagonal asociada a q, y m los negativos. Se designa sg (q) y se verifica:
p + m = rg (q)