Conjunto contorno

En matemática, un conjunto contorno generaliza y formaliza las nociones diarias de:

• Todo lo superior a algo
• Todo lo superior o equivalente a algo
• Todo lo inferior a algo
• Todo lo inferior o equivalente a algo

Definiciones

Formalmente, dada una relación matemática de pares de elementos de un conjunto $X$ :$\succcurlyeq ~\subseteq ~X^{2}$ y un elemento $x$ de $X$:

El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ que están relacionados con $x$:

$\left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}$

El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $x$ está relacionado con ellos:

$\left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}$

El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ que están relacionados con $x$, sin contar el mismo $x$:

$\left\{y~/~(y\succcurlyeq x)\land \lnot (x\succcurlyeq y)\right\}$

El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tal que $x$ está relacionado con ellos, sin contar aquellos que están relacionados de este modo con el mismo $x$:

$\left\{y~/~(x\succcurlyeq y)\land \lnot (y\succcurlyeq x)\right\}$

La expresión formal de las dos últimas definiciones puede simplificarse si definimos la siguiente relación

$\succ ~=~\left\{\left(a,b\right)~/~\left(a\succcurlyeq b\right)\land \lnot (b\succcurlyeq a)\right\}$

donde $a$ está relacionado con $b$ pero $b$ no está relacionado con $a$, en cuyo caso el conjunto contorno superior estricto de $x$ es

$\left\{y~/~y\succ x\right\}$

y el conjunto contorno inferior estricto de $x$ es

$\left\{y~/~x\succ y\right\}$

Conjunto contorno de una función

En el caso de una función f considerada en términos de la relación $\triangleright$, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación implicada

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\triangleright f(b)]$

Ejemplos

Aritmética

Dados un número real $x$ y la relación $\geq$, entonces:

• El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de números que son mayores o iguales a $x$,
• El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de números mayores que $x$,
• El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de números menores o iguales a $x$, y
• El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de números menores que $x$.

Considerando la relación más general

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]$

Entonces

• El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(y)\geq f(x)$,
• El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(y)>f(x)$,
• El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(x)\geq f(y)$, y
• El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $f(x)>f(y)$.

Técnicamente hablando también es posible definir conjuntos contornos en términos de la relación

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\leq f(b)]$

aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión de ellos.

Para una función real f, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación

$(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow ~[f(a)\geq f(b)]$

Note que los argumentos de f podrían ser vectores, y que la notación usada podría ser

$[(a_{1},a_{2},\ldots )\succcurlyeq (b_{1},b_{2},\ldots )]~\Leftarrow ~[f(a_{1},a_{2},\ldots )\geq f(b_{1},b_{2},\ldots )]$

Economía

En economía, el conjunto $X$ puede interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de posibles salidas, la relación $\succ$ como preferencias estrictas, y la relación $\succcurlyeq$ como preferencias débiles. Así,

• El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas por lo menos tan deseadas como $x$,
• El conjunto contorno supeior estricto de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas más deseadas que $x$,
• El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas no más deseadas que $x$, y
• El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas menos deseadas que $x$.

Tales preferencias podrían representarse por una función utilidad u, en cuyo caso

• El conjunto contorno superior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(y)\geq u(x)$,
• El conjunto contorno superior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(y)>u(x)$,
• El conjunto contorno inferior de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(x)\geq u(y)$, y
• El conjunto contorno inferior estricto de $x$ es el conjunto de todos los $y$ tales que $u(x)>u(y)$.

Complementariedad

Si $\succcurlyeq$ es un ordenación total de $X$, entonces el complemento del conjunto contorno superior es el conjunto contorno inferior estricto:

$X^{2}\backslash \left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{y~/~x\succ y\right\}$

$X^{2}\backslash \left\{y~/~x\succ y\right\}=\left\{y~/~y\succcurlyeq x\right\}$

y el complemento del conjunto contorno superior estricto es el conjunto contorno inferior:

$X^{2}\backslash \left\{y~/~y\succ x\right\}=\left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}$

$X^{2}\backslash \left\{y~/~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{y~/~y\succ x\right\}$

Véase también

• Epigrafo
• Hipografo

Referencias

• Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, y Jerry R. Green; Microeconomic Theory (LCC HB172.M6247 1995), p43. ISBN 0-19-507340-1 (cloth) ISBN 0-19-510268-1 (paper)