Conjunto contorno

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En matemática, un conjunto contorno generaliza y formaliza las nociones diarias de:

  • Todo lo superior a algo
  • Todo lo superior o equivalente a algo
  • Todo lo inferior a algo
  • Todo lo inferior o equivalente a algo

Definiciones[editar]

Formalmente, dada una relación matemática de pares de elementos de un conjunto X :\succcurlyeq~\subseteq~X^2 y un elemento x de X:

El conjunto contorno superior de x es el conjunto de todos los y que están relacionados con x:

\left\{ y~/~y\succcurlyeq x\right\}

El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de todos los y tal que x está relacionado con ellos:

\left\{ y~/~x\succcurlyeq y\right\}

El conjunto contorno superior estricto de x es el conjunto de todos los y que están relacionados con x, sin contar el mismo x:

\left\{ y~/~(y\succcurlyeq x)\land\lnot(x\succcurlyeq y)\right\}

El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de todos los y tal que x está relacionado con ellos, sin contar aquellos que están relacionados de este modo con el mismo x:

\left\{ y~/~(x\succcurlyeq y)\land\lnot(y\succcurlyeq x)\right\}

La expresión formal de las dos últimas definiciones puede simplificarse si definimos la siguiente relación

\succ~=~\left\{ \left(a,b\right)~/~\left(a\succcurlyeq b\right)\land\lnot(b\succcurlyeq a)\right\}

donde a está relacionado con b pero b no está relacionado con a, en cuyo caso el conjunto contorno superior estricto de x es

\left\{ y~/~y\succ x\right\}

y el conjunto contorno inferior estricto de x es

\left\{ y~/~x\succ y\right\}

Conjunto contorno de una función[editar]

En el caso de una función f considerada en términos de la relación \triangleright, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación implicada

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\triangleright f(b)]

Ejemplos[editar]

Aritmética[editar]

Dados un número real x y la relación \ge, entonces:

  • El conjunto contorno superior de x es el conjunto de números que son mayores o iguales a x,
  • El conjunto contorno superior estricto de x es el conjunto de números mayores que x,
  • El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de números menores o iguales a x, y
  • El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de números menores que x.

Considerando la relación más general

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\ge f(b)]

Entonces

  • El conjunto contorno superior de x es el conjunto de todos los y tales que f(y)\ge f(x),
  • El conjunto contorno superior estricto de x es el conjunto de todos los y tales que f(y)>f(x),
  • El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de todos los y tales que f(x)\ge f(y), y
  • El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de todos los y tales que f(x)>f(y).

Técnicamente hablando también es posible definir conjuntos contornos en términos de la relación

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\le f(b)]

aunque tales definiciones tenderían a confundir la comprensión de ellos.

Para una función real f, la referencia a los conjuntos contornos de la función es implícita a los conjuntos contornos de la relación

(a\succcurlyeq b)~\Leftarrow~[f(a)\ge f(b)]

Note que los argumentos de f podrían ser vectores, y que la notación usada podría ser

[(a_1 ,a_2 ,\ldots)\succcurlyeq(b_1 ,b_2 ,\ldots)]~\Leftarrow~[f(a_1 ,a_2 ,\ldots)\ge f(b_1 ,b_2 ,\ldots)]

Economía[editar]

En economía, el conjunto X puede interpretarse como un conjunto de bienes y servicios o de posibles salidas, la relación \succ como preferencias estrictas, y la relación \succcurlyeq como preferencias débiles. Así,

  • El conjunto contorno superior de x es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas por lo menos tan deseadas como x,
  • El conjunto contorno superior estricto de x es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas más deseadas que x,
  • El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas no más deseadas que x, y
  • El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de todos los bienes, servicios o salidas menos deseadas que x.

Tales preferencias podrían representarse por una función utilidad u, en cuyo caso

  • El conjunto contorno superior de x es el conjunto de todos los y tales que u(y)\ge u(x),
  • El conjunto contorno superior estricto de x es el conjunto de todos los y tales que u(y)>u(x),
  • El conjunto contorno inferior de x es el conjunto de todos los y tales que u(x)\ge u(y), y
  • El conjunto contorno inferior estricto de x es el conjunto de todos los y tales que u(x)>u(y).

Complementariedad[editar]

Si \succcurlyeq es un ordenación total de X, entonces el complemento del conjunto contorno superior es el conjunto contorno inferior estricto:

X^2\backslash\left\{ y~/~y\succcurlyeq x\right\}=\left\{ y~/~x\succ y\right\}
X^2\backslash\left\{ y~/~x\succ y\right\}=\left\{ y~/~y\succcurlyeq x\right\}

y el complemento del conjunto contorno superior estricto es el conjunto contorno inferior:

X^2\backslash\left\{ y~/~y\succ x\right\}=\left\{ y~/~x\succcurlyeq y\right\}
X^2\backslash\left\{ y~/~x\succcurlyeq y\right\}=\left\{ y~/~y\succ x\right\}

Véase también[editar]

Referencias[editar]