Distribución uniforme discreta

En estadística la distribución uniforme es una función de densidad de probabilidad cuyos valores tienen la misma probabilidad.

Distribución uniforme para variable aleatoria discreta

Distribución uniforme (caso discreto).

Su distribución de probabilidad es en el caso discreto con valores posibles $x_{1},x_{2}\ldots x_{n}\,\!$

$p(x_{i})={\frac {1}{n}}\,\!$

Su función de distribución es en el caso discreto:

$F(x)=\sum _{\forall i{\mbox{ con }}x\geq x_{i}}1/n\,\!$

Su media estadística es:

$\mu =\sum _{i}^{n}x_{i}/n\,\!$

Su varianza es:

$\sigma ^{2}=\sum _{i}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}/n\,\!$

Ejemplos para variable aleatoria discreta

• Para un dado perfecto todos los resultados tienen la misma probabilidad $1 \over 6\,\!$. Luego, la probabilidad de que al lanzarlo caiga 4 es $1 \over 6\,\!$.

• Para una moneda balanceada, todos los resultados tienen la misma probabilidad $1 \over 2\,\!$. Luego, la probabilidad de que al lanzarla caiga cara es $1 \over 2\,\!$.

Distribución uniforme para variable aleatoria

Distribución uniforme (caso continuo).

Se dice que una variable aleatoria $X\,\!$ continua tiene una distribución uniforme en el intervalo $[a,b]\,\!$ si la función de densidad de probabilidad (FDP) es

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{b-a}}&\ \ {\mbox{para }}a\leq x\leq b\\0&\ \ {\mbox{para el resto}}\end{matrix}}\right.\,\!$

La función de distribución en el caso continuo entre $a\,\!$ y $b\,\!$ es

$F(x)=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{para }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&\ \ \ {\mbox{para }}a\leq x<b\\1&{\mbox{para }}x\geq b\end{matrix}}\right.\,\!$

Su media estadística es:

$\mu ={\frac {a+b}{2}}\,\!$

Su varianza es:

$\sigma ^{2}={\frac {(b-a)^{2}}{12}}\,\!$

Proposición:

Si $X\,\!$ es una variable aleatoria continua, entonces para cualquier número $c\,\!$, $P(X=c)=0\,\!$, además para cualesquiera dos números $a\,\!$ y $b\,\!$ con $a\leq b\,\!$,

$P(a\leq X\leq b)=\left\{{\begin{matrix}P(a<X\leq b)\\P(a\leq X<b)\\P(a<X<b)\end{matrix}}\right.\,\!$

Es decir, la probabilidad asignada a cualquier valor particular es cero, y la probabilidad de un intervalo no depende de si cualquiera de sus puntos finales está incluido.

Ejemplo para variable aleatoria continua

La tecla RANDOM de la calculadora arroja números al azar entre cero y uno. La distribución de esos números simula ser una distribución uniforme continua entre 0 y 1.

Función de distribución acumulada para variable aleatoria continua

La función de distribución acumulada $F(x)\,\!$ para una variable aleatoria $X\,\!$ continua está definida para cualquier número $X\,\!$ por

$F(x)=P(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f(x)\,dx\,\!$

Para cada $x\,\!$, $F(x)\,\!$ aumenta suavemente a medida que $x\,\!$ aumenta.

Simulación

La distribución uniforme entre 0 y 1, mencionada en el ejemplo anterior, tiene una aplicación muy importante en simulación. Si se desea simular valores de una distribución cualquiera, el procedimiento es, básicamente, el siguiente: Se toma la función de distribución acumulada de la distribución a simular, y se construye su inversa. Luego se simulan valores uniformes entre 0 y 1, y se aplica la función inversa hallada a esos valores. De esta manera se obtienen los valores de cualquier distribución deseada..

Véase también

Distribución de probabilidad