Progresión geométrica

Una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta distinción no es estricta.

Así, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:

15 = 5 × 3

45 = 15 × 3

135 = 45 × 3

405 = 135 × 3

y así sucesivamente

Ejemplos de progresiones geométricas

• La progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32 es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
• La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
• La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
• Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
• Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que $r\neq 0$ en la definición.

Fórmulas pertinentes a progresiones geométricas

Si $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \,$ son los términos de una progresión geométrica con razón $r\,$ entonces se cumple la regla recursiva

$a_{n+1}=ra_{n}.\,$

La razón de una progresión geométrica puede entonces obtenerse dividiendo cualquier término por su inmediato anterior:

$r={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}.$

Todos los términos de la progresión quedan determinados así por el primer término y la razón. Efectuando la sustitución en cada paso, la progresión se convierte en

$a_{0},\,a_{0}r,\,a_{0}r^{2},\,a_{0}r^{3},\,a_{0}r^{4},\ldots \,$

de donde se infiere la fórmula para el término n-ésimo:

$a_{n}=a_{0}\,r^{n-1}$

Ejemplo. La secuencia 3, 6, 12, 24, 48, 96 es una progresión geométrica cuya razón es 2 ya que

$2={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {6}{3}}={\frac {12}{6}}={\frac {24}{12}}={\frac {48}{24}}={\frac {96}{48}}.$

Dado que $a_{0}=3\,$, podemos calcular directamente cualquier entrada. Por ejemplo:

$a_{6}=3\times 2^{5}=3\times 32=96.\,$

Suma de términos de una progresión geométrica

Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica

Se denomina como S_n a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n

Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.

$S_{n}r=(a_{1}+a_{2}+...+a_{n-1}+a_{n})r\Rightarrow S_{n}r=a_{1}r+a_{2}r+...+a_{n-1}r+a_{n}r$

Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se obtiene el término siguiente de esa progresión,

S_n r = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n r

Si se procede a restar de esta igualdad la primera:

S_n r = a₂ + a₃ + ... + a_n + a_n r

S_n = a₁ + a₂ + ... + a_n-1 + a_n

_______________________________

S_n r - S_n = - a₁ + a_n r

o lo que es lo mismo,

S_n ( r - 1 ) = a_n r - a₁

Si se despeja S_n,

$S_{n}={\cfrac {a_{n}r-a_{1}}{r-1}}$

De esta manera se obtiene la suma de los n términos de una progresión geométrica cuando se conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede expresar el término general de la progresión a_n como

a_n = a₁ r^n-1

Así, al substituirlo en la fórmula1 anterior se tiene lo siguiente:

$S_{n}={\cfrac {a_{1}r^{n-1}r-a_{1}}{r-1}}={\cfrac {a_{1}r^{n}-a_{1}}{r-1}}={\cfrac {a_{1}(r^{n}-1)}{r-1}}$

con lo que se obtiene la siguiente igualdad:

$S_{n}=a_{1}{\cfrac {r^{n}-1}{r-1}}$

Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.

Suma de términos infinitos de una progresión geométrica

Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad $|r|<1$, la suma de los infinitos términos decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si $|r|<1$, $r^{\infty }$ tiende hacia 0, de modo que:

$S_{\infty }=a_{1}{\cfrac {r^{\infty }-1}{r-1}}=a_{1}{\cfrac {0-1}{r-1}}={\cfrac {a_{1}}{1-r}}$

En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:

$S_{\infty }={\cfrac {a_{1}}{1-r}}$

Véase también

• Progresión aritmética