Potenciación

La potenciación es una multiplicación de varios factores iguales, al igual que la multiplicación es una suma de varios sumandos iguales, (la potenciación se considera una multiplicación abreviada).

En la nomenclatura de la potenciación se diferencian dos partes, la base y el exponente, que se escribe en forma de superíndice. El exponente determina la cantidad de veces que la base se multiplica por sí misma. Por ejemplo:

$2^{4}=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=16$

en general:

$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n},$

Una de las definiciones de la potenciación, por recursión, es la siguiente:

$x^{1}=x$

$x^{a}=x\cdot x^{a-1}$

Si en la segunda expresión se toma a=1, se tiene que x¹ = x·x⁰. Al dividir los dos términos de la igualdad por x (que se puede hacer siempre que x sea distinto de 0), queda que x⁰=1.

Así que cualquier número (salvo el 0) elevado a 0 da 1. El caso particular de 0⁰, en principio, no está definido (ver en Cero). Sin embargo, también se puede definir como 1 si nos atenemos a la idea de producto vacío o simplemente por analogía con el resto de números.

Para convertir una base con exponente negativo a positivo se pone la inversa de la base, es decir que la potencia pasa con exponente positivo.

Normalmente, las potencias con base 10, por la cantidad que represente el exponente, esa será la cantidad de ceros en el resultado. El resto de la base, para sacar el resultado el número se multiplica por sí mismo cuantas veces indique el exponente.

Propiedades de la potenciación

Las propiedades de la potenciación son las que permiten resolver por diferentes métodos una potencia. Estas son:

Potencia de exponente 0

Toda potencia de exponente 0 y base distinta de 0 es igual a 1

pero recuerden que a debe pertenecer por obligacion a los reales

$a^{0}=1\,$ si se cumple que $a\neq 0$

$0^{0}$ es una indeterminación. Que puede relacionarse con la indeterminación ${\frac {0}{0}}$ dado que

$0^{0}=0^{-1}\times 0^{1}={\frac {0}{0}}$

Potencia de exponente 1

Toda potencia de exponente 1 es igual a la base.

$a^{1}=a\,$

ejemplo:

$54^{1}=54\,$

Producto de potencias de igual base

El producto de dos o más potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la suma de los correspondientes exponentes. Se coloca la misma base y se suman los exponentes.

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

ejemplos:

$9^{3}\cdot 9^{2}=9^{3+2}=9^{5}$

División de potencias de igual base

La división de dos potencias de igual base a es igual a la potencia de base a y exponente igual a la resta de los exponentes respectivos. Se coloca la misma base y se restan los exponentes.

${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

Potencia de un producto

La potencia de un producto de base (a·b) y de exponente "n" es igual a la potencia "a" a la "n" por "b" a la "n". Cada base se multiplica por el exponente.

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

Potencia de una potencia

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a elevada a la multiplicación de ambos exponentes. Se coloca la misma base y se multiplican los exponentes. así se obtiene esta potencia

$(a^{m})^{n}=a^{m\cdot n}$

Producto de potencias de base distinta

En forma más general, la suma de dos radicaciones de base distinta a, b se puede expresar de la siguiente manera:

$a^{n}\cdot b^{m}=\left(b\cdot {\frac {a}{b}}\right)^{n}\cdot b^{m}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}\cdot b^{n}\cdot b^{m}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}\cdot b^{n+m}$

De tal forma que si a = b se regresa a la expresión para bases iguales.

Propiedad distributiva

La potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división, pero no lo es con respecto a la suma ni a la resta.

Es distributiva con respecto a la multiplicación y división:

$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$

${\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$

No es distributiva con respecto a la adición y sustracción:

$(a+b)^{m}\neq a^{m}+b^{m}$

$(a-b)^{m}\neq a^{m}-b^{m}$

Propiedad conmutativa

La propiedad conmutativa no se cumple para la potenciación, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor o son equivalentes.

En general:

$a^{b}\neq b^{a}$

Propiedad asociativa

La propiedad asociativa se cumple para la potenciación.

$\left(a^{m}\right)^{n}=(a)^{(m.n)}$

Potencia de base 10

No es cierto nada de esto asi que ya oyeron alumnos de 1-D esc. sec. nº 13stencil'Texto en negritaTexto en cursiva

Potencia de exponente fraccionario

Es una potencia que tiene su exponente en forma de fracción no es irreductible, y en la que se cumple que $a^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{a^{n}}}$

Potencia de exponente negativo

Una potencia que tenga exponente negativo se cambia el número por su inverzo, pero ahora con exponente positivo

$a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$

Potencia de números complejos

Para cualquiera de los números reales $a,b,c,d\,$ se tiene la identidad:

$\left(a\,e^{i\,b}\right)^{\left(c\,e^{i\,d}\right)}=a^{c\,\cos d}\,e^{i\,\left(c\,\log a\,\sin d+b\,c\,\cos d\right)-b\,c\,\sin d}$

Gráfico

gráfico de $Y=X^{2}$

El gráfico de una potencia par tiene la forma de una parábola. Su extremo está en el punto (0, 0), a menos que el gráfico sea trasladado. Su sentido de crecimiento es positivo en ambas direcciones

Dicho gráfico es continuo y derivable para todos los reales.

gráfico de $Y=X^{3}$

Por otra parte, el gráfico de una potencia impar puede describirse como una parábola de la cual una mitad crece en una dirección y la otra crece en la dirección opuesta. Su extremo es también el (0, 0), pero crece en ambos sentidos del infinito, en el primer y tercer cuadrante.

Véase también

• Radicación
• Exponenciación

Enlaces externos

• Potenciación en Excel
• Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español