Elemento supremo e ínfimo
Apariencia
En matemáticas, dado un subconjunto S de un conjunto parcialmente ordenado (P, <), el supremo de S, si existe, es el mínimo elemento de P que es mayor o igual a cada elemento de S. En otras palabras, es la mínima de las cotas superiores de S. El supremo de un conjunto S comúnmente se denota sup(S).
Definiciones
Sea un subconjunto no vacío de .
- Si está acotado por arriba , entonces se dice que una cota superior es un supremo - o una mínima cota superior- de si es menor que cualquier cota superior de . En tal caso, a esa cota superior se le denota .
- Si está acotado por abajo, entonces se dice que una cota inferior es un ínfimo - o una máxima cota inferior- de si es mayor que cualquier cota inferior de . En tal caso, a esa cota inferior se le denota [1]
Propiedades
- En el campo de los números reales, todo subconjunto no vacío, acotado superiormente posee un supremo, contenido o no dentro del subconjunto.
- s es supremo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota superior de T y si solo si para toda ε > 0 existe sε en T tal que s-ε < sε.
- r es ínfimo del subconjunto T no vacío del conjunto R de números reales si es cota inferior de T y si solo si para toda ε > 0 existe rε en T tal que r+ε > rε.
- Sea L un subconjunto acotado de números reales. A su vez K un subconjunto no vacío de L, entonces se cumple que inf L ≤ inf K ≤ sup K ≤sup L.[2]
- Si el supremo (ínfimo) existe, entonces es único
- , si es que dichos supremos existen
- , si es que dichos ínfimos existen
- Un conjunto tiene máximo (mínimo) si y solamente si el supremo (ínfimo) es un elemento de dicho conjunto.
Ejemplos
Véase también
Referencias
- ↑ Bartle- Sherbert. Introducción al análisis matemático de una variable.ISBN 968-18-1725-7
- ↑ Rodríguez y otros. cálculo diferencial e integral. Parte I
Literatura de consulta
- Rudin, Walter, Principles of Mathematical Analysis, Third Edition, McGraw-Hill, 1976.
- Supremum (en PlanetMath.org)
- Weisstein, Eric W. «Supremum function». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.