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Distribución de Rademacher

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En teoría de la probabilidad y estadística, la distribución Rademacher (que lleva el nombre de Hans Rademacher) es una distribución discreta de probabilidad en la que una variable aleatoria X tiene una probabilidad del 50 % de ser +1 y 50 % de ser -1.[1]

Una serie de Rademacher distribuye las variables pueden considerarse como un simple camino aleatorio simétrico, donde el tamaño del paso es 1.

Formulación matemática

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La función de masa de probabilidad de esta distribución es

Puede también ser escrita como una función de densidad de probabilidad en términos de la función delta de Dirac, como:

Límite van Zuijlen

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Van Zuijlen ha demostrado el siguiente resultado.[2]

Sea un conjunto de variables aleatorias independientes con distribución Rademacher, entonces

La cota es afilado y mejor que la que se puede derivar de la distribución normal (aproximadamente Pr > 0.31).

Límites sobre sumas

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Sea { Xi } un conjunto de variables aleatorias con una distribución Rademacher. Sea una sucesión de números reales. Entonces

donde es la norma euclidiana de la secuencia es un número real y Pr (Z) es la probabilidad del evento Z.[3]

También si es finito entonces

donde es el 1-norma de la secuencia .

Sea , casi seguramente es una serie convergente en un espacio de Banach. Entonces para y tenemos:[4]

para alguna constante .

Sea un número real positivo. Entonces[5]

donde y son constantes que dependen solo de .

Para

Aplicaciones

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La distribución Rademacher se ha utilizado en bootstrapping.

La distribución Rademacher se puede utilizar para demostrar que se distribuye normalmente y no correlacionado no implica independiente.

Distribuciones relacionadas

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Distribución de Bernoulli: Si sigue una distribución Rademacher, luego tiene una distribución Bernoulli (1/2).

Distribución de Laplace: Si y son variables aleatorias independientes, tales que sigue una distribución Rademacher y , entonces

Referencias

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  1. Hitczenko P, Kwapień S (1994) On the Rademacher series. Progress in probability 35: 31-36
  2. van Zuijlen Martien CA (2011) On a conjecture concerning the sum of independent Rademacher random variables. http://arxiv.org/abs/1112.4988
  3. MontgomerySmith SJ (1990) The distribution of Rademacher sums. Proc Amer Math Soc 109: 517522
  4. Dilworth SJ, Montgomery-Smith SJ (1993) The distribution of vector-valued Radmacher series. Ann Probab 21 (4) 2046-2052
  5. Khintchine A (1923) Über dyadische Brüche. Math Zeitschr 18: 109–116