Discusión:Conjunto generador de un grupo

Introducción mejorable

Considero que la introducción de este artículo podría editarse para que sea menos liosa, forzada y repetitiva. Por ello planteo una introducción alternativa mencionando la correlación entre los conceptos de grupo generado y conjunto generador.

En teoría de grupos, existen los conceptos de conjunto generador de un grupo y, recíprocamente, el de grupo generado por un conjunto. Ambos conceptos están intrínsecamente relacionados.

Dado un grupo $G$, un conjunto generador de éste será un subconjunto $S\subset G$ de manera que todo elemento de $G$ se puede obtener como resultado de una cantidad finita de operaciones entre un conjunto finito de elementos de $S$. Análogamente, se dirá que $G$ está generado por $S$.

Más generalmente, dado un grupo $G$ y un subconjunto arbitrario $S\subset G$ siempre es posible contruir el grupo generado por $S$ el cual se denota como $<S>\leq G$. Si tomamos la notación multiplicativa, tenemos que el subgrupo generado viene dado explícitamente como sigue:

$<S>\ \ ={\big \{}s_{1}^{p_{1}}s_{2}^{p_{2}}\cdots s_{n}^{p_{n}}/n\in \mathbb {N} ,s_{i}\in S,p_{i}\in \mathbb {Z} ,\forall i\in \{1,2,\dots ,n\}{\big \}}$

Puede probarse además, que $<S>$ es el menor subgrupo en $G$ que contiene al conjunto $S$. Es por esto que se toma como equivalente la definición que sigue (la cual además justifica que $S=\emptyset$ genere al grupo neutro):

$<S>\ \ =\bigcap _{S\subset H\leq G}H$

Si un grupo $G$ es generado por un único elemento; es decir, $G=<\{x\}>$, se dirá que $G$ es un grupo cíclico. Recíprocamente, todo subgrupo generado por un único elemento será cíclico.

Obviamente la mía admitirá seguramente mejoras (visuales o de redacción); pero antes de hacer ningún cambio creo conveniente consultarlo. Saludos, --DavosMat (discusión) 15:14 31 may 2016 (UTC)