Control estocástico

El control estocástico es un subcampo de la teoría de control que se ocupa de la existencia de incertidumbre en las observaciones o en el ruido que impulsa la evolución del sistema. El diseñador del sistema asume, en una probabilidad bayesiana, que el ruido aleatorio con distribución de probabilidad conocida afecta a la evolución y la observación de las variables de estado. El Control Estocástico tiene como objetivo diseñar la trayectoria temporal de las variables controladas que realiza la tarea de control deseado con el mínimo coste, de alguna manera definida, a pesar de la presencia de este ruido.​ El contexto puede ser tanto tiempo discreto o de tiempo continuo.

Equivalencia Cierta

Una formulación muy bien estudiada en el control estocástico es el del Control lineal cuadrático gaussiano. Aquí el modelo es lineal, la función objetivo es el valor esperado de una forma cuadrática, y las perturbaciones son puramente aditivo. Un resultado básico para los sistemas centralizados de tiempo discreto es la propiedad de equivalencia cierta:​ que la solución de control óptima en este caso es la misma que se obtendría en ausencia de los trastornos aditivos. Esta propiedad es aplicable a todos los sistemas centralizados con ecuaciones lineales de evolución, la función de costo cuadrática, y el ruido que entra en el modelo es sólo aditivo; el supuesto cuadrática permite a las leyes de control óptimo, que siguen a la propiedad certeza equivalencia, que son funciones lineales de las observaciones de los controladores.

Cualquier desviación de la hipótesis de una ecuación no lineal del estado, una función objetivo no cuadrática, ruido en los parámetros multiplicativos del modelo, o la descentralización del control hace que la propiedad de equivalencia cierta no celebrar. Por ejemplo, su incapacidad para mantener el control descentralizado se demostró en contraejemplo de Witsenhausen.

Tiempo discreto

En un contexto de tiempo discreto, el decisor observa la variable de estado, posiblemente con el ruido de observación, en cada período de tiempo. El objetivo puede ser optimizar la suma de los valores esperados de la función objetivo no-lineal (posiblemente de segundo grado) sobre todos los plazos desde el presente hasta el periodo final, o para optimizar el valor de la función objetivo a partir del último período solamente. En cada período de tiempo se hacen nuevas observaciones, y las variables de control se deben ajustar de manera óptima. Encontrar la solución óptima para el momento actual puede implicar la iteración una ecuación de Riccati en forma de matriz hacia atrás en el tiempo desde el último período para el período actual.

En el caso de tiempo discreto con la incertidumbre acerca de los valores de los parámetros en la matriz de transición (dando el efecto de los valores actuales de las variables de estado en su propia evolución) y/o la matriz de respuesta de control de la ecuación de estado, pero aún con un estado lineal ecuación y función objetivo cuadrática, una ecuación de Riccati todavía se puede obtener para la iteración hacia atrás para la solución de cada período a pesar de equivalencia de certidumbre no se aplica.​^ch.13​ El caso de tiempo discreto de una función de pérdida cuadrática, pero no sólo trastornos aditivos también se pueden manejar, aunque con más complicaciones.​

Ejemplo

Una especificación típica del problema de control cuadrático lineal estocástico en tiempo discreto es minimizar: ​​​

${\text{E}}_{1}\sum _{t=1}^{S}[y_{t}^{T}Qy_{t}+u_{t}^{T}Ru_{t}]$

donde E₁ es el operador de valor esperado condicional en y₀, el superíndice T indica una matriz de transposición, y S es el horizonte de tiempo, sujeto a la ecuación de estado:

$y_{t}=A_{t}y_{t-1}+B_{t}u_{t},$

donde y es un vector n × 1 de variables de estado observables, u es un vector k × 1 de variables de control, A t es el tiempo t de realización de la matriz de transición de estado n × n estocástica , B t es el tiempo t de realización de la matriz estocástica n × k de los multiplicadores de control, y Q ( n × n ) y R ( k × k ) son matrices conocidas de costo positivo simétrico. Suponemos que cada elemento de A y B se distribuye de forma conjunta independiente e idéntica a través del tiempo, por lo que las operaciones de valor esperado no tienen que ser condicional al tiempo.

La inducción hacia atrás en el tiempo puede usarse para obtener la solución de control óptima en cada momento,​

$u_{t}^{*}=-[{\text{E}}(B^{T}X_{t}B+R)]^{-1}{\text{E}}(B^{T}X_{t}A)y_{t-1},$

Referencias

• Datos: Q7617811