Ecuación de Riccati

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La ecuación de Riccati es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal de primer orden, inventada y desarrollada en el siglo XVIII por el matemático italiano Jacopo Francesco Riccati, con el fin de analizar la hidrodinámica.En 1724 publicó una investigación multilateral de la ecuación, llamada, por iniciativa de D'Alembert (1769): Ecuación de Riccati. La investigación de la ecuación de Riccati convocó el esfuerzo de varios matemáticos: Leibnitz, Goldbach, Juan Bernoulli y sus hijos Nicolás y Daniel Bernoulli, y posteriormente, a Euler.[1]

Generalmente, esta ecuación la presentan en la forma:

\frac{dy}{dx} + p(x)y + q(x)y^2 = f(x).

Integración[editar]

Esta ecuación se resuelve si previamente se conoce una solución particular, sea  y_1(x)\,\!.

Conocida dicha solución, se hace el cambio:

 y(x)= z(x) + y_1(x)\,\!

y reemplazando, se obtiene:

\frac{dy}{dx}=-p(x)y-q(x)y^2 +f(x)=\frac{dz(x)}{dx}+ \frac{dy_1}{dx}

es decir:

 -p(x)y -q(x)y^2+ f(x)=\frac{dz}{dx} -p(x)y_1(x) - q(x)y_1(x)^2 +f(x)

\Rightarrow \frac{dz}{dx} = p(x) (y_1-y)+ q(x)(y_1^2-y^2)

lo que equivale a:

\frac{dz}{dx}=-p(x)z-q(x) (z^2+2zy_1)

\Rightarrow \frac{dz}{dx}=-(p(x) +2q(x)y_1(x))z -q(x)z^2

que corresponde a una ecuación diferencial de Bernoulli.

Observación[editar]

Obsérvese que si se hace la sustitución:

 y(x)=y_1(x) + \frac{1}{z(x)}

propuesta por Euler en los años 60 del siglo XVIII[2] esto lleva directamente a una ecuación lineal diferencial de primer orden.

Notas[editar]

  1. Historia de las matematicas, de Ribnikov, Librería Científica, Lima. pag. 258.
  2. Ibídem, pag. 258.