«Congruencia» redirige aquí. Para la congruencia vista desde el punto de la geometría elemental, véase
congruencia (geometría).
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Congruencia es un término usado en la teoría de números, para designar que dos números enteros
tienen el mismo resto al dividirlos por un número natural
, llamado módulo; esto se expresa utilizando la notación
![{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3dfcf6e055fce344fa935fbed43aacd9bcc613)
que se expresa diciendo que
es congruente con
módulo
.
Las siguientes expresiones son equivalentes:
es congruente con
módulo ![{\displaystyle m\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37129e832c2c81b9f146dd22228d409bd099b295)
![{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad3dfcf6e055fce344fa935fbed43aacd9bcc613)
- El resto de
entre
es el resto de
entre ![{\displaystyle m\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37129e832c2c81b9f146dd22228d409bd099b295)
![{\displaystyle a\;{\bmod {\;}}m=b\;{\bmod {\;}}m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb373a65bf96b1008f7d7435c2674e1e942ae45c)
divide exactamente a la diferencia de
y ![{\displaystyle b\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b1bcf19f4ec75b1d2cc0be001e58a314fb0a940)
![{\displaystyle m\mid a-b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0c67a3385bfbd437a468aba9b01441a7178d88b)
se puede escribir como la suma de
y un múltiplo de ![{\displaystyle m\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37129e832c2c81b9f146dd22228d409bd099b295)
![{\displaystyle \exists k\in \mathbb {Z} \quad a=b+km}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d747ae04462033d2e2ae9674322b406e2012a49)
El término congruencia se utiliza además con dos sentidos ligeramente diferentes: por un lado con el sentido de identidad matemática, como ejemplo de este uso tenemos el pequeño teorema de Fermat que asegura que para cada primo
y cada entero
no divisible por
tenemos la congruencia:
[1]
Por otro lado se utiliza en el sentido de ecuación, donde aparecen una o más incógnitas, y nos preguntamos si una congruencia tiene solución y en caso afirmativo cuáles son todas sus soluciones, por ejemplo la congruencia
, tiene solución, y todas sus soluciones vienen dadas por
y
, es decir
puede ser cualquier entero de las sucesiones
y
. Contrariamente la congruencia
, no tiene solución.
La notación y la relación terminología fueron introducidas por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae en 1801. Su utilización se ha extendido a muchos otros entornos en los que podemos hablar de divisibilidad, por ejemplo a polinomios con coeficientes en un cuerpo, a ideales de anillos de números algebraicos, etc.
Propiedades
La relación de congruencia tiene muchas propiedades en común con la igualdad matemática, por citar alguna:
- La congruencia para un módulo
entonces también ![{\displaystyle b\equiv a{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45b49ff3e2aedd0b438c0b121836cc5c9e2fd13a)
- transitividad: si
y
entonces también
.
- Si
es coprimo con
y
, entonces
también es coprimo con
.
- Si
y
es un entero entonces también se cumple
![{\displaystyle a(+-)k\equiv b(+-)k{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ced65cc9a3762418b9ea8e0c122f894b60140bf7)
![{\displaystyle ka\equiv kb{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aacea0020d763470881c41f9fb0a0670ecac35cf)
![{\displaystyle a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}\qquad k>0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d9923b3cdb6ce7a1e567d31eebe2b06626c15b)
- Si además
es coprimo con
, entonces podemos encontrar un entero
, tal que
![{\displaystyle kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a081ac5af4352969a0b4cf6b8fba965b00c5acc)
y entonces tiene perfecto sentido hablar de la división y también es cierto que
![{\displaystyle {\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2761ceea443dd3fb3e4c0725bfdb02301af5b882)
donde por definición ponemos
.
- Como consecuencia de lo anterior, si tenemos dos congruencias con igual módulo:
y ![{\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fd19a1dd8845d380cc64b35cf2963915e97b76f)
podemos sumarlas, restarlas o multiplicarlas de forma que también se verifican las congruencias
y ![{\displaystyle ac\equiv bd{\pmod {m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/769be10524012911f24b8eaa036cb10a07ec7ddd)
Véase también
Referencias
Enlaces externos