Aproximación WKB

En Física, la aproximación WKB es el ejemplo más familiar de un cálculo semi-clásico (ver antigua teoría cuántica) en el cual la función de onda es redactada como una función exponencial, semiclásicamente expandida, y entonces o la amplitud o la fase es tomada para estar cambiando lentamente.

El nombre de este método es un acrónimo para la aproximación Wentzel–Kramers–Brillouin. Otro acrónimo usualmente usado para el método incluido Aproximación JWKB and aproximación WKBJ, donde la "J" es debido a Jeffreys.

Breve historia

Este método fue nombrado por los físicos Wentzel, Kramers, y Brillouin, los que desarrollaron esto en 1926. En 1923, el matemático Harold Jeffreys ha desarrollado un método general de aproximación a soluciones lineales, ecuaciones diferenciales de segundo orden, los cuales incluido la ecuación de Schrödinger. Pero desde que la Ecuación de Schrödinger fue desarrollada dos años después, y Wentzel, Kramers, y Brillouin estuvieron aparentemente inconscientes de su trabajo muy adelantado, a Jeffrey algunas veces se le negó el crédito. Textos tempranos en mecánica cuántica contienen algún número de combinaciones de sus iniciales, incluyendo WBK, BWK, WKBJ, JWKB y BWKJ.

Tempranas referencias para el método son: Carlini en 1817, Liouville en 1837, Green en 1837, Rayleigh en 1912 y Gans en 1915. Liouville y Green pueden ser llamados los fundadores del método, en 1837, y esto es también comúnmente llamado como "Liouville-Green" o "método LG". La importante contribución de Jeffreys, Wentzel, Kramers y Brillouin al método fue la inclusión del tratamiento momentos, conectando la Fugacidad y oscillatorio soluciones en ningún lado del momento. Por ejemplo, esto puede ocurrir en la ecuación de Schrödinger, ambos para un pico potencial de energía.

Método WKB

Generalmente, la teoría WKB es un método para aproximar la solución de una ecuación diferencial la cuya más alta derivada es multiplicada por un pequeño parámetro ε. El método de aproximación es como sigue. Para una ecuación diferencial:

$\epsilon {\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}+a(x){\frac {\mathrm {d} ^{n-1}y}{\mathrm {d} x^{n-1}}}+\cdots +k(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}+m(x)y=0$

Asume una solución de la forma de una expansión de serie asintótica

$y(x)\sim \exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]$

En el límite $\delta \rightarrow 0$. La sustitución de anteriores ansatz dentro de la ecuación diferencial y la cancelación de los tereminos exponenciales permite la solución de un número arbitrario de términos $S_{n}(x)$ en la expansión. La teoría WKB es un caso especial de Análisis de escala múltiple.

Un ejemplo

Considerar la ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden.

$\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y$

donde $Q(x)\neq 0$. Reemplezando con

$y(x)=\exp \left[{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}(x)\right]$

resulta en la ecuación

$\epsilon ^{2}\left[{\frac {1}{\delta ^{2}}}\left(\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}'\right)^{2}+{\frac {1}{\delta }}\sum _{n=0}^{\infty }\delta ^{n}S_{n}''\right]=Q(x)$

De primer orden, (suponiendo, por el momento, la serie será asintóticamente consistente) sobre él se puede aproximar como:

${\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}+{\frac {2\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}'S_{1}'+{\frac {\epsilon ^{2}}{\delta }}S_{0}''=Q(x)$

En el límite $\delta \rightarrow 0$, el equilibrio dominante está dado por:

${\frac {\epsilon ^{2}}{\delta ^{2}}}S_{0}'^{2}\sim Q(x)$

Por lo tanto δ es proporcional a ε. Valorizando a ellos igual y comparando podemos hacer:

$\epsilon ^{0}:\;\;\;S_{0}'^{2}=Q(x)$

La cual puede ser reconocida como la ecuación Eikonal, con solución

$S_{0}(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}\,dt$

En cuanto a las potencias de primer orden de $\epsilon$ da

$\epsilon ^{1}:\;\;\;2S_{0}'S_{1}'+S_{0}''=0$

La cual es ecuación de transporte unidimensional, el cual tiene la solución

$S_{1}(x)=-{\frac {1}{4}}\log \left(Q(x)\right)+k_{1}.\,$

Y $k_{1}$ es una constante arbitraria. Nosotros ahora tenemos un par de aproximaciones para el sistema(un par porque $S_{0}$ puede tomar dos signos); la aproximación-WKB de primer orden será una combinación lineal de las dos:

$y(x)\approx c_{1}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]+c_{2}Q^{-{\frac {1}{4}}}(x)\exp \left[-{\frac {1}{\epsilon }}\int _{x_{0}}^{x}{\sqrt {Q(t)}}dt\right]$

Términos de mayor orden pueden ser obtenidos por examinar en ecuaciones para más altas potencia de ε. Explícitamente

$2S_{0}'S_{n}'+S''_{n-1}+\sum _{j=1}^{n-1}S'_{j}S'_{n-j}=0$

para $n>2$. Este ejemplo viene de los libros de texto Bender y Orszag (ver referencias).

Aplicación a la ecuación de Schrödinger

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en una dimensión viene dada por: $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)+V(x)\Psi (x)=E\Psi (x)$,

La cual puede reescribirse como: ${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)\Psi (x)$.

La función de onda puede puede reescribirse como la exponencial de otra función Φ (La cual esta estrechamente relacionada a la acción):

$\Psi (x)=e^{\Phi (x)},\!$

Así que:

$\Phi ''(x)+\left[\Phi '(x)\right]^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),$

Donde Φ' indica la derivada de Φ con respecto a x. La derivada $\Phi '(x)$ puede separarse en parte real e imaginaria introducciendo las funciones reales A y B:

$\Phi '(x)=A(x)+iB(x).\;$

La amplitud de la función de onda es entonces $\exp \left[\int ^{x}A(x')dx'\right]\,\!$, mientras que la fase es $\int ^{x}B(x')dx'\,\!$. Las partes real e imaginaria de la ecuación de Schrödinger entonces son:

$A'(x)+A(x)^{2}-B(x)^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right),$

$B'(x)+2A(x)B(x)=0.\;$

Tras esto, y usando la aproximación semiclásica, podemos escribir cada función como una serie de potencias en $\hbar$. Desde la ecuación esto puede ser visto que la serie de potencias puede comenzar con al menos un orden de $\hbar ^{-1}$ para satisfacer la parte real de la ecuación. Con el fin de alcanzar un límite clásico bueno, es necesario comenzar con tan alta potencia de la constante de Planck como sea posible.

$A(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}A_{n}(x)$

$B(x)={\frac {1}{\hbar }}\sum _{n=0}^{\infty }\hbar ^{n}B_{n}(x)$

De primer orden en esta expansión, las condiciones sobre A y B pueden ser escritas.

$A_{0}(x)^{2}-B_{0}(x)^{2}=2m\left(V(x)-E\right)$

$A_{0}(x)B_{0}(x)=0\;$

Si la amplitud varía con la suficiente lentitud en comparación con la fase ($A_{0}(x)=0$), se deduce que:

$B_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(E-V(x)\right)}},$

que sólo es válido cuando la energía total es mayor que la energía potencial, como es siempre el caso en movimiento clásico. Después que el mismo procedimiento sobre el siguiente orden de la expansión se deduce que:

$\Psi (x)\approx C_{0}{\frac {e^{i\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}+\theta }}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(E-V(x)\right)}}}$

De otro lado, si se varía la fase que varía lentamente (en comparación con la amplitud), ($B_{0}(x)=0$) entonces

$A_{0}(x)=\pm {\sqrt {2m\left(V(x)-E\right)}}$

El cuál es solo válido cuando la energía potencial es más grande que la energía total (el régimen en el que túnel cuántico ocurre). rectificando el siguiente orden en el campoi de expansión.

$\Psi (x)\approx {\frac {C_{+}e^{+\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}+C_{-}e^{-\int \mathrm {d} x{\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}}{\sqrt[{4}]{{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)}}}.$

Se desprende del denominador, que ambas de las soluciones aproximadas 'explotan' cerca del punto de inflexión clásico donde $E=V(x)$ y no puede ser válida. Estas son las soluciones aproximadas lejos de el valle del potencial y por debajo del valle del potencial. Lejos del valle del potencial, la partícula actúa similarmente a la fase-onde libre que está oscilando. por debajo de la villa de potencial, la partícula sufre cambios exponenciales en amplitud.

Para completar la derivación, las soluciones aproximadas que se encuentran en todas partes y sus coeficientes emparejados para obtener una solución aproximada global. La solución aproximada cerca de los puntos de inflexión clásicos $E=V(x)$ que están aún por ser encontrados.

Para un punto clásico de inflexión $x_{1}$ y cerca a $E=V(x_{1})$, ${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)$ puede ser expandida en series de potencias.

${\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\left(V(x)-E\right)=U_{1}(x-x_{1})+U_{2}(x-x_{1})^{2}+\cdots$

De primer orden se encuentra:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\Psi (x)=U_{1}(x-x_{1})\Psi (x).$

Esta ecuación diferencial es conocida como la ecuación de Airy, y la solución puede ser escrita en términos de la función de Airy.

$\Psi (x)=C_{A}{\textrm {Ai}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{1})\right)+C_{B}{\textrm {Bi}}\left({\sqrt[{3}]{U_{1}}}(x-x_{1})\right).$

Esta solución debe conectar el lejos y por debajo de soluciones. Dadas los dos coeficientes en un lado del punto de inflexión clásico, los 2 coeficientes en el otro lado del punto de inflexión clásico se puede determinar mediante el uso de esta solución local para conectarlos. Por lo tanto, una relación entre $C_{0},\theta$ y $C_{+},C_{-}$ puede ser encotnrada.

Afortunadamente, las funciones de Airy se asíntota en seno, coseno y funciones exponenciales en los límites adecuados. La relación puede ser encontrado para ser de la siguiente manera (a menudo referido como "fórmulas de conexión"):

${\begin{aligned}C_{+}&=+{\frac {1}{2}}C_{0}\cos {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)},\\C_{-}&=-{\frac {1}{2}}C_{0}\sin {\left(\theta -{\frac {\pi }{4}}\right)}.\end{aligned}}$

Ahora las soluciones globales (aproximadas) pueden ser construidas.

Precisión de la serie asintótica

La serie asintótica para $y(x)$ es usualmente una serie divergente cuyos término general $\delta ^{n}S_{n}(x)$ comienza a aumentar después de un cierto valor $n=n_{\max }$. Por lo tanto el más mínimo error obtenidos por el método WKB es en el mejor de la orden del último término incluido. Para la ecuación:$\epsilon ^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=Q(x)y$ con $Q(x)<0$ una función analítica, el valor $n_{\max }$ y la magnitud del último término puede ser estimado como sigue (ver Winitzki 2005),

$n_{\max }\approx 2\epsilon ^{-1}\left|\int _{x_{0}}^{x_{*}}dz{\sqrt {-Q(z)}}\right|,$

$\delta ^{n_{\max }}S_{n_{\max }}(x_{0})\approx {\sqrt {\frac {2\pi }{n_{\max }}}}\exp[-n_{\max }],$

donde $x_{0}$ es el punto en el cual $y(x_{0})$ necesita ser evaluado y $x_{*}$ es el punto de inflexión (complejo) donde $Q(x_{*})=0$, más cerca a $x=x_{0}$. El número $n_{\max }$ puede ser interpretado como el número de oscilaciones entre $x_{0}$ y el punto de inflexión mas cercano. Si $\epsilon ^{-1}Q(x)$ es una función que cambia lentamente,

$\epsilon \left|{\frac {dQ}{dx}}\right|\ll Q^{2},$

el número $n_{\max }$ será largo, y el error mínimo de la serie asintótica será exponencialmente pequeño.

Véase también

• Función de Airy
• Field electron emission
• Langer correction
• Method of steepest descent / Laplace Method
• Old quantum theory
• Perturbation methods
• Quantum tunneling
• Slowly varying envelope approximation

Referencias

Modern references

• Razavy, Moshen (2003). Quantum Theory of Tunneling. World Scientific. ISBN 981-238-019-1. 
• Griffiths, David J. (2004). Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-111892-7. 
• Liboff, Richard L. (2003). Introductory Quantum Mechanics (4th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5. 
• Sakurai, J. J. (1993). Modern Quantum Mechanics. Addison-Wesley. ISBN 0-201-53929-2. 
• Bender, Carl; Orszag, Steven (1978). Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. McGraw-Hill. ISBN 0-07-004452-X. 
• Olver, Frank J. W. (1974). Asymptotics and Special Functions. Academic Press. ISBN 0-12-525850-X. 
• Winitzki, Sergei (2005). «Cosmological particle production and the precision of the WKB approximation». Physical Review D 72: 104011. doi:10.1103/PhysRevD.72.104011. 

Historical references

• Carlini, Francesco (1817). Ricerche sulla convergenza della serie che serva alla soluzione del problema di Keplero. Milano. 
• Liouville, Joseph (1837). «Sur le développement des fonctions et séries..». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 1: 16-35. 
• Green, George (1837). «On the motion of waves in a variable canal of small depth and width». Transactions of the Cambridge Philosophical Society 6: 457-462. 
• Rayleigh, Lord (John William Strutt) (1912). «On the propagation of waves through a stratified medium, with special reference to the question of reflection». Proceedings of the Royal Society London, Series A 86: 207-226. doi:10.1098/rspa.1912.0014. 
• Gans, Richard (1915). «Fortplantzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium». Annalen der Physik 47: 709-736. 
• Jeffreys, Harold (1924). «On certain approximate solutions of linear differential equations of the second order». Proceedings of the London Mathematical Society 23: 428-436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428. 
• Brillouin, Léon (1926). «La mécanique ondulatoire de Schrödinger: une méthode générale de resolution par approximations successives». Comptes Rendus de l'Academie des Sciences 183: 24-26. 
• Kramers, Hendrik A. (1926). «Wellenmechanik und halbzählige Quantisierung». Zeitschrift der Physik 39: 828-840. doi:10.1007/BF01451751. 
• Wentzel, Gregor (1926). «Eine Verallgemeinerung der Quantenbedingungen für die Zwecke der Wellenmechanik». Zeitschrift der Physik 38: 518-529. doi:10.1007/BF01397171. 

Enlaces externos

• Richard Fitzpatrick, The W.K.B. Approximation (2002). (An application of the WKB approximation to the scattering of radio waves from the ionosphere.)
• Free WKB library for Microsoft Visual C v6 for some special functions