Anillo de conjuntos

En matemática, específicamente en álgebra abstracta y teoría de anillos, una colección no vacía de conjuntos ${\mathcal {R}}$ es un anillo (de conjuntos) si es cerrada bajo las operaciones de intersección y diferencia simétrica.

Formalmente, para cualquier $A,B\in {\mathcal {R}}$, debe cumplirse

1. $A\cap B\in {\mathcal {R}}$
2. $A\triangle B\in {\mathcal {R}}$

donde $\triangle$ representa la diferencia simétrica $A\Delta B=(A-B)\cup (B-A).$

Un anillo de conjuntos forma un anillo (posiblemente sin unidad) bajo estas dos operaciones. La intersección se distribuye sobre la diferencia simétrica:

$A\cap (B\triangle C)=(A\cap B)\triangle (A\cap C)$

El conjunto vacío es el elemento identidad para $\triangle$, y la unión de todos los conjuntos, es el elemento identidad para $\cap$, creando un anillo unitario.

Dado cualquier conjunto X, el conjunto potencia de X forma un anillo de conjuntos discreto, mientras que la colección {∅,X} constituye un anillo de conjuntos no discreto. Cualquier campo de conjuntos, así como cualquier sigma-álgebra son también anillos de conjuntos.

Los anillos de conjuntos son retículos distributivos.

Referencias

• Ring of sets en PlanetMath.

• Datos: Q2064647