Conjunción lógica

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Conjunción  \and
Venn0001.svg
Diagrama de Venn de \scriptstyle A \and B
Venn 0000 0001.svg
Diagrama de Venn de \scriptstyle A \and B \and C
Nomenclatura
Lenguaje formal A y B
Operador booleano ·
Operador de conjuntos \cap
Puerta Lógica
AND ANSI Labelled.svg
\scriptstyle A \and B
Tabla de la Verdad

   \begin{array}{|c|c||c|}
      \hline
      a & b & a \and b \\
      \hline
      F & F & F \\
      C & F & F \\
      F & C & F \\
      C & C & C \\
      \hline
   \end{array}

En razonamiento formal, una conjunción lógica (  \and ) entre dos proposiciones es un conector lógico cuyo valor de la verdad resulta en cierto sólo si ambas proposiciones son ciertas, y en falso de cualquier otra forma. Existen diferentes contextos dónde se utiliza la conjunción lógica.

En lenguajes formales, la palabra "y" se utiliza en español para simbolizar una conjunción lógica. La noción equivalente en la teoría de conjuntos es la intersección ( \cap ). En algebra Booleana, la conjunción como operador binario entre dos variables se representa con el símbolo de punto medio ( · ).

En electrónica, una puerta AND es una puerta lógica que implementa la conjunción lógica.

Definición[editar]

Dado un conjunto universal U formado por los elementos falso: F y cierto: C:


   U = \{F, V\}

y una operación binaria interna conjunción  \land , que representaremos  (U, \land ) :


   \begin{array}{rccl}
      \land : & \; U \times U & \to & U             \\
              & (a,b)         & \to & c = a \land b
   \end{array}

por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de U por U se le asigna un c de U.


   \forall (a,b) \in U \times U
   \, : \quad
   \exists !  c \in U
   \; / \quad
   c = a \land b

Para todo par ordenado (a,b) en U por U, se cumple que existe un único c en U, tal que c es el resultado de la conjunción lógica a y b.

Usos[editar]

Lenguaje formal[editar]

Si declaraciones en un lenguaje formal representan proposiciones en lógica proposicional con contenido de verdad o falsedad, entonces una conjunción lógica es cierta solo si ambas declaraciones son ciertas.

Algebra Booleana[editar]

Dado un conjunto B = {0, 1}, se define · como una función tal que:

0 · 0 = 0 0 · 1 = 0 1 · 0 = 0 1 · 1 = 1

Electrónica[editar]

Redes Neuronales[editar]

Propiedades[editar]

La conjunción lógica presenta las siguientes propiedades:

  • 1. La ley asociativa:

   \forall a, b,c \in U
   : \;
   (a \land b) \land c = a \land (b \land c)
  • 2. Existencia del elemento neutro:

   \forall a \in U
   : \;
   a \land V = a
  • 3. La ley conmutativa:

   \forall a, b \in U
   : \;
   a \land b = b \land a
  • 4. Ley distributiva de la conjunción respecto al disyunción:

   \forall a, b, c \in U
   : \;
   a \land (b \lor c) = (a \land b) \lor (a \land c)
  • 5. Existe elemento complementario:

   \forall a \in U
   ; \;
   \exists \lnot{a} \in U
   : \;
   a \land \lnot{a} = F

Operación con bits[editar]

La conjunción es utilizada a menudo para operaciones con bits. Por ejemplo:

  • Cero y cero:

   0 \and 0 = 0
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 0  \\
      \and & 0  \\
      \hline
          & 0  \\
   \end{array}
  • Cero y uno:

   0 \and 1 = 0
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 0  \\
      \and & 1  \\
      \hline
          & 0  \\
   \end{array}
  • Uno y cero:

   1 \and 0 = 0
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 1  \\
      \and & 0  \\
      \hline
          & 0  \\
   \end{array}
  • Uno y uno:

   1 \and 1 = 1
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{cc}
           & 1  \\
      \and & 1  \\
      \hline
          & 1  \\
   \end{array}
  • Para cuatro bit:

   1010 \and 1100 = 1000
   \quad \longleftrightarrow \quad
   \begin{array}{ccccc}
           & 1 & 0 & 1 & 0  \\
      \and & 1 & 1 & 0 & 0  \\
      \hline
           & 1 & 0 & 0 & 0  \\
   \end{array}

Véase también[editar]

Enlaces externos[editar]

Bibliografía[editar]

  • Nachbin, Leopoldo (1986). Álgebra elemental. Rochester, Nueva York: Eva V. Chesnau. Edición de la OEA, traducida al español por César E. Silva.