0,999…

En matemáticas, el número 0,999... con el 9 decimal periódico que también se puede escribir como $0.{\bar {9}}$, $0.{\dot {9}}$ ó $0.(9)\,\!$ denota un número real igual a 1. Es decir, las notaciones "0,999..." y "1" representan el mismo número real. Aunque aparentemente contradictoria, esta igualdad es válida y se pueden proporcionar demostraciones con diferentes grados de rigor y tiene su origen en que la representación decimal de un número real no es necesariamente única.

El hecho de que existen expansiones reales como 0,999... no se limita al sistema decimal. El mismo fenómeno ocurre en todas las bases enteras, y los matemáticos también han cuantificado los modos de escribir 1 en bases no enteras. Ni siquiera se trata de un fenómeno aislado a 1: todos los decimales terminales distintos de cero de un número real tienen un gemelo con infinitos nueves, como por ejemplo 28,3287 y 28,3286999.... Para la simplicidad, el decimal finito es casi siempre la representación preferida, contribuyendo a una mala interpretación de que sea la única representación. Incluso de forma más general, cualquier sistema de numeración posicional contiene una cantidad infinita de números con representaciones múltiples. Estas diversas identidades se han aplicado para entender mejor los patrones en las expansiones decimales de fracciones y la estructura de un fractal simple, el conjunto de cantor. También aparecen en la investigación clásica de la infinidad del conjunto entero de los números reales.

La igualdad 0,999... = 1 ha sido aceptada durante mucho tiempo por los matemáticos profesionales y se ha adoptado que se enseñe en los libros de texto. En las últimas décadas, los investigadores de la enseñanza de matemáticas han estudiado la percepción de esta igualdad entre los estudiantes, muchos de los cuales inicialmente cuestionan o rechazan esta igualdad. Muchos se persuaden por una apelación a la autoridad de los libros de texto y profesores, o por razonamientos aritméticos. Sin embargo, algunos se sienten a menudo bastante molestos para buscar una justificación ulterior. El razonamiento de los estudiantes para negar o afirmar la igualdad se basa típicamente en uno de entre varios errores comunes provocados por el comportamiento intuitivo de los números reales, por ejemplo que cada número real tiene una expansión decimal única, que los números reales infinitesimales diferentes de cero deberían existir, o que la expansión de 0,999... finalmente acaba. Se pueden construir sistemas de números que cumplan algunas de estas intuiciones, y en algunos de estos la igualdad es falsa. Aunque estos sistemas de números son diferentes en el sistema de números reales estándar que hacen que las matemáticas sean las elementales y, de avanzado nivel. En efecto, algunas construcciones de números contienen números que son "infinitesimalmente" cercanos a 1; generalmente no están relacionados con 0,999..., pero son de interés considerable en análisis matemático.

Introducción

Leonhard Euler fue uno de los primeros matemáticos en estudiar el valor del 0,9 periódico. Basándose en una de sus obras principales Elementos del álgebra, llegó a un veredicto.

0.999... es un número escrito en el sistema de numeración decimal, y algunas de las pruebas más simples de que 0,999... = 1 se basan en las propiedades aritméticas convenientes de este sistema. La mayoría de operaciones de suma, resta, multiplicación, división, y manipulaciones de comparación utilizan manipulación a nivel de dígitos que son muy parecidas a las que se hacen con enteros. Como con los enteros, cualquier par de decimales finitos con dígitos diferentes significan números diferentes (ignorando los ceros de la derecha). En particular, cualquier número de la forma 0,99... 9, donde los 9 finalmente se detienen, es estrictamente menor que 1.

Malinterpretar el significado del uso de los "..." (elipsis); puntos suspensivos en 0,999... es responsable, en parte, del malentendido sobre su igualdad a 1. El uso aquí es diferente al uso en lengua o en 0,99... 9, donde los puntos suspensivos especifican que una porción aproximadamente finita se deja sin manifestar o se omite. Cuando se usa para especificar un decimal periódico, "..."; significa que una porción infinita se ha dejado sin manifestar, esto sólo se puede interpretar como un número usando el concepto matemático de límites. Como resultado, en el uso matemático convencional, el valor asignado a la notación "0999..."; se define como el número real que es el límite de la sucesión convergente (0.9, 0.99, 0.999, 0.9999, ...;).

A diferencia del caso con enteros y decimales finitos, diferentes notaciones también pueden expresar un único numero de maneras múltiples. Por ejemplo, usando fracciones como 1/3 = 2/6. Los decimales infinitos, sin embargo, pueden expresar el mismo número como máximo de dos maneras diferentes. Si hay dos maneras, entonces una de ellas ha de acabar con una serie infinita de nuevos, y el otro tiene que acabar (es decir, consta de una serie de ceros que se repite a partir de un cierto punto).

Hay muchas demostraciones de que 0.999 ... = 1, de grados diversos de rigor matemático. Un esbozo corto de una prueba rigurosa se puede expresar simplemente de la siguiente manera. Considere que dos números reales sean idénticos si y sólo si su diferencia es igual a cero. La mayoría de las personas aceptarían que la diferencia entre 0.999 ... y 1, si es que existe, debe ser muy pequeña. Considerando la convergencia de la secuencia de arriba, se puede demostrar que la magnitud de esta diferencia debe ser más pequeña que cualquier cantidad positiva, y se puede demostrar que el único número real con esta propiedad es el 0. Como la diferencia es 0 se sigue que los números 1 y 0.999 ... son idénticos. El mismo argumento también explica por qué 0.333 ... = 1/3, 0111 ... = 1/9, etc.

Demostraciones

Algebraicas

Fracción y división euclidiana

Una razón por la que los decimales infinitos son una ampliación necesaria de los decimales finitos es para representar fracciones. Utilizando el algoritmo de dividir, una división simple de enteros como tercera se convierte en un decimal periódico, 0.333 ..., en el que los dígitos se repiten sin fin. Este decimal produce una demostración rápida de que 0.999 ... = 1. La multiplicación de 3 por 3 da 9 a cada dígito, así 3 ×; 0.333 ... = 0.999 .... Y 3 × 1/3 = 1, así 0.999 ... = 1.​

Otra forma es multiplicando 1/9 = 0.111... por 9.

${\begin{aligned}0,333\dots &{}={\frac {1}{3}}\\3\times 0,333\dots &{}=3\times {\frac {1}{3}}={\frac {3\times 1}{3}}\\0,999\dots &{}=1\end{aligned}}$

${\begin{aligned}0,111\dots &{}={\frac {1}{9}}\\9\times 0.111\dots &{}=9\times {\frac {1}{9}}={\frac {9\times 1}{9}}\\0,999\dots &{}=1\end{aligned}}$

Una versión más compacta de la misma prueba viene dada por las ecuaciones siguientes:

$1={\frac {9}{9}}=9\times {\frac {1}{9}}=9\times 0,111\dots =0,999\dots$

Ya que ambas ecuaciones son válidas, 0.999... hay que igualar a 1 (por la propiedad transitiva). de forma similar 3/3= 1, y 3/3= 0,999... Así, 0.999... es igual a 1.

Véase también

• Uno
• Número decimal periódico

Fuentes

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Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una galería multimedia sobre 0,999….