Teorema de extinción de Ewald y Oseen

En óptica, el teorema de extinción de Ewald-Oseen, a veces denominado simplemente teorema de extinción, es un postulado que subyace a la comprensión común de la dispersión (así como de la refracción, la reflexión y la difracción). Lleva el nombre de Paul Ewald y de Carl Wilhelm Oseen, quienes demostraron el teorema en medios cristalinos e isotrópicos, respectivamente, en 1916 y 1915.​ Originalmente, el teorema se aplicaba a la dispersión de objetos dieléctricos isotrópicos en el espacio libre. El alcance del teorema se amplió enormemente para abarcar una amplia variedad de medios bianisotrópicos.​

Visión general

Una parte importante de la teoría de la física óptica es comenzar con la física microscópica (el comportamiento de los átomos y electrones) y utilizarla para "deducir" las familiares leyes macroscópicas de la óptica. En particular, existe una conexión entre cómo funciona el índice de refracción y de dónde proviene, a partir de la física microscópica. El teorema de extinción de Ewald-Oseen es una parte de esa deducción (al igual que la ecuación de Clausius-Mossoti y otras).

Cuando la luz que viaja en el vacío entra en un medio transparente como el vidrio, la luz se ralentiza, tal y como indica su índice de refracción. Aunque este hecho es conocido y familiar, en realidad es bastante extraño y sorprendente cuando se piensa en ello microscópicamente. Después de todo, según el principio de superposición, la luz en el cristal es una superposición de:

• La onda de luz original, y
• Las ondas de luz emitidas por los electrones oscilantes en el vidrio.

(la luz es un campo electromagnético oscilante que empuja los electrones hacia adelante y hacia atrás, emitiendo radiación dipolar).

Individualmente, cada una de estas ondas viaja a la velocidad de la luz en el vacío, no a la velocidad (más lenta) de la luz en el vidrio. Sin embargo, cuando se suman las ondas, sorprendentemente crean solamente una onda que viaja a menor velocidad.

El teorema de extinción de Ewald-Oseen dice que la luz emitida por los átomos tiene una componente que viaja a la velocidad de la luz en el vacío, lo que anula (extingue) exactamente la onda de luz original. Además, la luz emitida por los átomos tiene una componente que parece una onda que viaja a la velocidad más lenta de la luz en el vidrio. En total, la única onda en el cristal es la onda lenta, consistente con lo que se espera de la óptica básica.

Se puede encontrar una descripción más completa en el texto Classical Optics and its Applications, de Masud Mansuripur.​ Por otro lado, la obra Principles of Optics, de Born y Wolf, incluye una demostración del teorema clásico,​ y la de su extensión ha sido presentada por Akhlesh Lakhtakia.​

Obtención de las ecuaciones de Maxwell

Introducción

Cuando una onda electromagnética penetra en un medio dieléctrico, excita (hace resonar) los electrones del material, ya sea que estén libres o ligados, poniéndolos en un estado vibratorio con la misma frecuencia que la onda. Estos electrones, a su vez, irradiarán sus propios campos electromagnéticos como resultado de su oscilación (campos electromagnéticos de cargas oscilantes). Debido a la linealidad de las ecuaciones de Maxwell, se espera que el campo total en cualquier punto del espacio sea la suma del campo original y del campo producido por los electrones oscilantes. Sin embargo, este resultado es contrario a la intuición de la onda en el dieléctrico que se observa en la práctica, que se mueve a una velocidad de c/n, donde n es el índice de refracción medio. El teorema de extinción de Ewald-Oseen busca explicar este fenómeno, demostrando cómo la superposición de estas dos ondas reproduce el resultado familiar de una onda que se mueve a una velocidad de c/n.

Deducción

La siguiente es una deducción basada en un trabajo de Ballenegger y Weber.​ Considérese una situación simplificada en la que una onda electromagnética monocromática normalmente incide sobre un medio que llena la mitad del espacio en la región z>0, como se muestra en la Figura 1.

Figura 1: El semiespacio z>0 es un material dieléctrico con susceptibilidad χ, y el semiespacio z<0 es el vacío

El campo eléctrico en un punto del espacio es la suma de los campos eléctricos debidos a todas las diversas fuentes. En el caso analizado, se separan los campos en dos categorías según sus fuentes generadoras. Se denota el campo incidente como

$\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }$

y la suma de los campos generados por los electrones oscilantes en el medio atravesado como:

$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t).$

El campo total en cualquier punto z del espacio viene dado por la superposición de las dos contribuciones,

$\mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t).$

Para coincidir con las observaciones empíricas, $\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }$ tiene esta forma. Sin embargo, ya se sabe que dentro del medio, z>0, solo se observa lo que se denomina el campo E transmitido $\mathbf {E} _{\mathrm {T} }$, que viaja a través del material a velocidad c/n.

Por lo tanto, con estas condiciones:

$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)+\mathbf {E} _{T}(z,t)$

Es decir, el campo radiado anula al campo incidente y crea un campo transmitido que viaja dentro del medio a velocidad c/n. Usando la misma lógica, fuera del medio el campo radiado produce el efecto de un campo reflejado $\mathbf {E} _{R}$ que viaja con velocidad c en dirección opuesta al campo incidente:

$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }(z,t)=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)-\mathbf {E} _{R}(z,t)$

Supóngase que la longitud de onda es mucho mayor que la separación promedio de los átomos, por lo que el medio puede considerarse continuo. Usando los campos macroscópicos E y B habituales y tomando el medio como no magnético y neutro, de modo que las ecuaciones de Maxwell toman la forma

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {B} &={\boldsymbol {\mu }}_{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}{\boldsymbol {\mu }}_{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\end{aligned}}$

Tanto el campo eléctrico total como el campo magnético

$\mathbf {E} =\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} },\quad \mathbf {B} =\mathbf {B} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {B} _{\mathrm {rad} }$

el conjunto de ecuaciones de Maxwell dentro del dieléctrico

${\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} }=\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t}\end{array}}$

donde $\mathbf {J}$ incluye la corriente verdadera y de polarización inducida en el material por el campo eléctrico exterior. Suponemos una relación lineal entre la corriente y el campo eléctrico, por lo tanto

$\mathbf {J} ={\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)$

El conjunto de ecuaciones de Maxwell fuera del dieléctrico no tiene término de densidad de corriente.

${\begin{array}{l}{\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \cdot \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=0}\\{\nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }=-\partial \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\\{\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {vac} }=\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }/\partial t}\end{array}}$

Los dos conjuntos de ecuaciones de Maxwell están acoplados ya que el campo eléctrico del vacío aparece en el término de densidad de corriente.

Para una onda monocromática con incidencia normal, el campo eléctrico del vacío tiene la forma

$\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z,t)=\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }\exp[i(kz-\omega t)],$

con $k=\omega /{c}$.

Ahora, para resolver $\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }$, tomamos la curvatura de la tercera ecuación del primer conjunto de ecuaciones de Maxwell y la combinamos con la cuarta.

${\begin{aligned}\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }&=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} _{\mathrm {rad} })\\[1ex]\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }&=-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mu _{0}\mathbf {J} +\epsilon _{0}\mu _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }}{\partial t}}\right)\end{aligned}}$

Simplificamos el doble rizo en un par de pasos usando Einstein summation.

${\begin{aligned}(\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} )_{i}&=\epsilon _{ijk}\epsilon _{klm}\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=(\delta _{il}\delta _{j\mathrm {m} }-\delta _{i\mathrm {m} }\delta _{jl})\partial _{j}\partial _{l}E_{m}\\&=\partial _{i}(\partial _{j}E_{j})-\partial _{j}\partial _{j}E_{i}\end{aligned}}$

Por lo tanto obtenemos,

$\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} _{rad}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {E} _{rad})-\nabla ^{2}\mathbf {E} _{rad}$

Luego sustituyendo $\mathbf {J}$ por ${\sigma }\left(\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }\right)$, aprovechando el hecho de que $\nabla \cdot \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=0$ obtenemos,

$\nabla ^{2}\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }={\frac {\partial }{\partial t}}(\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }+\mu _{0}{\sigma }\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\epsilon _{0}\mu _{0}\partial \mathbf {E} _{\mathrm {rad} }/\partial t)$

Al darnos cuenta de que todos los campos tienen la misma dependencia temporal $\exp(-i\omega t)$, las derivadas temporales son sencillas y obtenemos la siguiente ecuación de onda no homogénea

$\nabla ^{2}\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }+\mu _{0}\omega ^{2}\left(\epsilon _{0}+i\sigma /\omega \right)\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-i\mu _{0}\omega \sigma \mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)$

con solución particular

$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{P}=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)$

Para la solución completa, sumamos a la solución particular la solución general de la ecuación homogénea que es una superposición de ondas planas que viajan en direcciones arbitrarias.

$\left(\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}\right)_{i}=\int g_{i}({\boldsymbol {\theta }},{\boldsymbol {\phi }})\exp \left(i\mathbf {k} '\cdot \mathbf {r} \right)d\Omega$

donde $k'$ se encuentra a partir de la ecuación homogénea que es

$k^{\prime 2}=\mu _{0}\epsilon _{0}\omega ^{2}\left(1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}\right)$

Tenga en cuenta que hemos tomado la solución como una superposición coherente de ondas planas. Debido a la simetría, esperamos que los campos sean iguales en un plano perpendicular al eje $z$. Por tanto, $\mathbf {k} '\cdot \mathbf {a} =0,$ donde $\mathbf {a}$ es un desplazamiento perpendicular a $z$.

Como no hay fronteras en la región $z>0$, esperamos una onda que viaje hacia la derecha. La solución de la ecuación homogénea se convierte en,

$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }^{c}=\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik'z\right)$

Sumando esto a la solución particular, obtenemos la onda radiada dentro del medio ($z>0$)

$\mathbf {E} _{\mathrm {rad} }=-\mathbf {E} _{\mathrm {vac} }(z)+\mathbf {E} _{T}\exp \left(ik'z\right)$

El campo total en cualquier posición $z$ es la suma de los campos incidente y radiado en esa posición. Sumando los dos componentes dentro del medio, obtenemos el campo total.

$\mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{T}\exp \left(ik'z\right),\qquad z>0$

Esta onda viaja dentro del dieléctrico a una velocidad $c/n,$.

$n=ck'/\omega ={\sqrt {1+i{\frac {\sigma }{\epsilon _{0}\omega }}}}$

Podemos simplificar el $n$ anterior a una forma familiar del índice de refracción de un dieléctrico isotrópico lineal. Para ello recordemos que en un dieléctrico lineal un campo eléctrico aplicado $\mathbf {E}$ induce una polarización $\mathbf {P}$ proporcional al campo eléctrico $\mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E}$. Cuando el campo eléctrico cambia, las cargas inducidas se mueven y producen una densidad de corriente dada por $\partial \mathbf {P} /\partial t$. Como la dependencia del campo eléctrico con el tiempo es $\exp(-i\omega t)$, obtenemos

$\mathbf {J} =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}\mathbf {E} ,$

lo que implica que la conductividad

$\sigma =-i\epsilon _{0}\omega \chi _{e}.$

Luego, sustituyendo la conductividad en la ecuación de $n$, se obtiene

$n={\sqrt {1+\chi _{e}}}$

que es una forma más familiar. Para la región $z<0$, se impone la condición de una onda que viaja hacia la izquierda. Al establecer la conductividad en esta región $\sigma =0$, obtenemos la onda reflejada

$\mathrm {E} (z)=\mathrm {E} _{R}\exp \left(-ikz\right),$

viajando a la velocidad de la luz.

Tenga en cuenta que la nomenclatura de coeficientes, $\mathbf {E} _{T}$ y $\mathbf {E} _{R}$, solo se adopta para coincidir con lo que ya esperábamos.

Aproximación vectorial de Hertz

La siguiente es una derivación basada en un trabajo de Wangsness​ y una derivación similar que se encuentra en el capítulo 20 del texto de Zangwill, Electrodinámica moderna.​ La configuración es la siguiente: sea el medio espacio infinito $z<0$ el vacío y el medio espacio infinito $z>0$ un material dieléctrico isotrópico uniforme con susceptibilidad eléctrica, $\chi .$

El inhomogeneous electromagnetic wave equation para el campo eléctrico se puede escribir en términos del Hertz Potential eléctrico, ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }$, en el calibre de Lorenz como

$\nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }}{\partial t^{2}}}=-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.$

El campo eléctrico en términos de los vectores de Hertz viene dado como

$\mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}-{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }\right),$

pero el vector magnético de Hertz ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {m} }$ es 0 ya que se supone que el material no es magnetizable y no hay campo magnético externo. Por lo tanto, el campo eléctrico se simplifica a

$\mathbf {E} =\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.$

Para calcular el campo eléctrico primero debemos resolver la ecuación de onda no homogénea para ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }$. Para hacer esto, divida ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }$ en las soluciones homogéneas y particulares.

${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }(\mathbf {r} ,t)={\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)+{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t).$

La linealidad nos permite entonces escribir

$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)+\mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t).$

homogeneous solution, $\mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)$, es la onda plana inicial que viaja con el vector de onda $k_{0}=\omega /c$ en la dirección $z$ positiva.

$\mathbf {E} _{h}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}.$

No necesitamos encontrar ${\boldsymbol {\pi }}_{e,h}(\mathbf {r} ,t)$ explícitamente ya que solo nos interesa encontrar el campo.

La solución particular, ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)$ y por lo tanto, $\mathbf {E} _{\mathrm {p} }(\mathbf {r} ,t)$, se encuentra usando un método Función de Green dependiente del tiempo en la ecuación de onda no homogénea para ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }$ que produce la integral retarded.

${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int d^{3}r'{\frac {\mathbf {P} \left(\mathbf {r} ',t-\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|/c\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.$

Dado que el campo eléctrico inicial está polarizando el material, el vector de polarización debe tener la misma dependencia espacial y temporal $\mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}.$. Wangsness analiza más detalles sobre esta suposición. Conectando esto a la integral y expresando en términos de coordenadas cartesianas se produce

${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{4\pi \epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz'e^{ik\left(z'-z\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dx'\int _{-\infty }^{\infty }dy'{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}.$

Primero, considere solo la integración sobre $x'$ y $y'$ y conviértala a cylindrical coordinates $(x,y,z)\rightarrow (\rho ,\varphi ,z)$ y llame a $\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|=R$

$I:=\int _{-\infty }^{\infty }dx^{\prime }\int _{-\infty }^{\infty }dy^{\prime }{\frac {e^{ik_{0}\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}=\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\int _{0}^{\infty }d\rho '{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}=2\pi \int _{0}^{\infty }d\rho '{\frac {e^{ik_{0}R}}{R}}.$

Luego usando la sustitución

$R^{2}=\rho ^{2}+\left|z'-z\right|^{2}\Rightarrow \rho ^{2}=R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}\Rightarrow \rho \,d\rho =R\,dR$

y

$\rho ={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}$

Entonces los límites se vuelven

$\rho =0={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\left|z'-z\right|$

y

$\rho =\infty ={\sqrt {R^{2}-\left|z'-z\right|^{2}}}\Rightarrow R=\infty .$

Luego introduzca un factor de convergencia $e^{-\epsilon R}$ con $\epsilon \in \mathbb {R}$ en el integrando ya que no cambia el valor de la integral,

${\begin{aligned}I&=2\pi \int _{\left|z'-z\right|}^{\infty }dRe^{ik_{0}R}\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\int _{\left|z'-z\right|}^{\infty }dRe^{(ik_{0}-\epsilon )R}\\&=\left.2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )R}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\right|_{\left|z'-z\right|}^{\infty }\\&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }}{ik_{0}-\epsilon }}-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z'-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right].\end{aligned}}$

Entonces $\epsilon \in \mathbb {R}$ implica $\lim _{\epsilon \to 0}e^{-\epsilon \infty }=0$,

por lo tanto $\lim _{\epsilon \to 0}e^{(ik_{0}-\epsilon )\infty }=\lim _{\epsilon \to 0}e^{ik_{0}\infty }e^{-\epsilon \infty }=0$. Por lo tanto,

${\begin{aligned}I&=2\pi \lim _{\epsilon \to 0}\left[0-{\frac {e^{(ik_{0}-\epsilon ){\left|z^{\prime }-z\right|}}}{ik_{0}-\epsilon }}\right]\\&=-2\pi {\frac {e^{ik_{0}{\left|z'-z\right|}}}{ik_{0}}}\\&=2\pi i{\frac {e^{ik_{0}{\left|z'-z\right|}}}{k_{0}}}.\end{aligned}}$

Ahora, reemplazando este resultado nuevamente en la integral z se obtiene

${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)={\frac {i\mathbf {P} _{0}e^{i(kz-\omega t)}}{2k_{0}\epsilon _{0}}}\int _{0}^{\infty }dz'e^{ik\left(z'-z\right)}e^{ik_{0}\left|z-z'\right|}$

Observe que ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }$ ahora es solo una función de $z$ y no de $\mathbf {r}$, como se esperaba para la simetría dada.

Esta integración debe dividirse en dos debido al valor absoluto $\left|z-z'\right|$ dentro del integrando. Las regiones son $z<0$ y $z>0$. Nuevamente, se debe introducir un factor de convergencia para evaluar ambas integrales y el resultado es

${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)=-{\frac {\mathbf {P} e^{-i\omega t}}{2\epsilon _{0}k_{0}}}{\begin{cases}{{\frac {1}{k+k_{0}}}e^{-ik_{0}z}}&{z<0}\\{{\frac {2k_{0}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{ikz}+{\frac {1}{k-k_{0}}}e^{ik_{0}z}}&{z>0.}\end{cases}}$

En lugar de introducir ${\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }$ directamente en la expresión del campo eléctrico, se pueden hacer varias simplificaciones. Comience con curl of the curl vector identity,

$\nabla \times (\nabla \times \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} )-\nabla ^{2}\mathbf {{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }} ,$

por lo tanto,

${\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=\nabla \times \nabla \times {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}\\&=\nabla (\nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} })-\nabla ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}.\end{aligned}}$

Observe que $\nabla \cdot {\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }=0$ porque $\mathbf {P}$ no tiene dependencia de ${\mathbf {z} }$ y siempre es perpendicular a ${\hat {\mathbf {z} }}$. Además, observe que el segundo y tercer término son equivalentes a la ecuación de onda no homogénea, por lo tanto,

${\begin{aligned}\mathbf {E} _{\mathrm {p} }&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }}{\partial t^{2}}}\\&=-{\frac {1}{c^{2}}}(-i\omega )^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\\&=k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }\end{aligned}}$

Por lo tanto, el campo total es

$\mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}+k_{0}^{2}{\boldsymbol {\pi }}_{\mathrm {e,p} }(z,t)$

que se convierte,

$\mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k+k_{0}}}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{2\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-{\frac {\mathbf {P} }{\epsilon _{0}}}{\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}e^{i(kz-\omega t)}}&{z>0.}\end{array}}\right.$

Ahora concéntrate en el campo dentro del dieléctrico. Usando el hecho de que $\mathbf {E} (z,t)$ es complejo, podemos escribir inmediatamente

$\mathbf {E} (z>0,t)=\mathbf {E} e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}$

Recordemos también que dentro del dieléctrico tenemos $\mathbf {P} =\epsilon _{0}\chi \mathbf {E}$.

Luego, por coincidencia de coeficientes encontramos,

$e^{i\left(kz-\omega t\right)}\Rightarrow 1=-\chi {\frac {k_{0}^{2}}{k_{0}^{2}-k^{2}}}$

y

$e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}\Rightarrow 0=\mathbf {E} _{0}-{\frac {\chi }{2}}{\frac {k_{0}}{k-k_{0}}}\mathbf {E} .$

La primera relación produce rápidamente el vector de onda en el dieléctrico en términos de la onda incidente como

${\begin{aligned}k&={\sqrt {1+\chi }}k_{0}\\&=nk_{0}.\end{aligned}}$

Usando este resultado y la definición de $\mathbf {P}$ en la segunda expresión se obtiene el vector de polarización en términos del campo eléctrico incidente como

$\mathbf {P} =2\epsilon _{0}(n-1)\mathbf {E} _{0}.$

Ambos resultados se pueden sustituir en la expresión del campo eléctrico para obtener la expresión final.

$\mathbf {E} (z,t)=\left\{{\begin{array}{l}{\mathbf {E} _{0}e^{i\left(k_{0}z-\omega t\right)}-\left({\frac {n-1}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{-i\left(k_{0}z+\omega t\right)}}&{z<0}\\{\left({\frac {2}{n+1}}\right)\mathbf {E} _{0}e^{i\left(nk_{0}z-\omega t\right)}}&{z>0.}\end{array}}\right.$

Este es exactamente el resultado esperado. solo hay una onda dentro del medio y su velocidad de onda se reduce en n. También se recuperan los coeficientes de reflexión y transmisión esperados.

==Longitudes de extinción y pruebas de relatividad especial==.

La "longitud de extinción" característica de un medio es la distancia después de la cual se puede decir que la onda original ha sido reemplazada por completo. Para la luz visible, que viaja en el aire al nivel del mar, esta distancia es de aproximadamente 1 mm.​ En el espacio interestelar, la duración de la extinción de la luz es de 2 años luz.​ A frecuencias muy altas, los electrones en el medio no pueden "seguir" la onda original hacia la oscilación, lo que permite que esa onda viaje mucho más lejos: para rayos gamma de 0,5 MeV, la longitud es de 19 cm de aire y 0,3 mm de Lucite, y para 4,4 GeV, 1,7 m en aire y 1,4 mm en carbono.​

Teoría de la relatividad especial predice que la velocidad de la luz en el vacío es independiente de la velocidad de la fuente que la emite. Esta predicción ampliamente creída ha sido probada ocasionalmente mediante observaciones astronómicas.​​ Por ejemplo, en un sistema estelar binario, las dos estrellas se mueven en direcciones opuestas y se podría probar la predicción analizando su luz. (Véase, por ejemplo, el Experimento de la estrella binaria de de Sitter.) Desafortunadamente, la duración de la extinción de la luz en el espacio anula los resultados de cualquier experimento de este tipo utilizando luz visible, especialmente si se tiene en cuenta la espesa nube de gas estacionario que rodea a tales estrellas.​ Sin embargo, los experimentos que utilizan rayos X emitidos por púlsares binarios, con una duración de extinción mucho más larga, han tenido éxito.​

Referencias

• Datos: Q18354377