Conjunto barrilado

En análisis funcional, un subconjunto de un espacio vectorial topológico (EVT) se denomina barrilado si está cerrado y es convexo, equilibrado y absorbente.​

Los conjuntos barrilados desempeñan un papel importante en las definiciones de varias clases de espacios vectoriales topológicos, como los espacios barrilados.

Definiciones

Sea $X$ un espacio vectorial topológico (EVT). Un subconjunto de $X$ se llama barrilado si está cerrado y es convexo, equilibrado y absorbente en $X.$ Un subconjunto de $X$ se llama bornívoro​ si absorbe cada subconjunto acotado de $X.$ Cada subconjunto bornívoro de $X$ es necesariamente un subconjunto absorbente de $X.$

Sea $B_{0}\subseteq X$ un subconjunto de un espacio vectorial topológico $X.$ Si $B_{0}$ es un subconjunto absorbente y equilibrado de $X$; y si existe una sucesión $\left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ de subconjuntos absorbentes equilibrados de $X$ tal que $B_{i+1}+B_{i+1}\subseteq B_{i}$ para todos los $i=0,1,\ldots ,$ entonces $B_{0}$ se denomina suprabarrilado​ en $X,$ donde además, se dice que $B_{0}$ es un(a):

• Suprabarrilado bornívoro si además cada $B_{i}$ es un cerrado y subconjunto bornivoro de $X$ para cada $i\geq 0.$​
• Ultrabarrilado si además cada $B_{i}$ es un subconjunto cerrado de $X$ por cada $i\geq 0.$​
• Ultrabarrilado bornívoro si además cada $B_{i}$ es un subconjunto cerrado y bornívoro de $X$ para cada $i\geq 0.$​

En este caso, $\left(B_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ se denomina la sucesión definitoria de $B_{0}.$​

Propiedades

Téngase en cuenta que cada ultrabarril bornívoro es un ultrabarril, y que cada suprabarril bornívoro es un suprabarril.

Ejemplos

• En un espacio vectorial normado la 1-esfera cerrada es un conjunto barrilado.
• Cada espacio localmente convexo tiene una base de entornos que consta de conjuntos barrilados, aunque el espacio en sí no tiene por qué ser un espacio barrilado.

Véase también

• Espacio barrilado
• Topologías en espacios de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabarrilado

Bibliografía

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• Datos: Q96373175