Base de entornos

En Topología, un entorno de un punto es un conjunto que contiene un abierto al que pertenece el punto. Es decir, si $(X,T)$ es un espacio topológico, $a \in X$ y $V \subseteq X$, diremos que $V$ es entorno de $a$ si existe un $G \in T$ (es decir, $G$ es un conjunto abierto en $X$) de forma que $a \in G \subseteq V$.

Dado un punto $a \in X$, una base de entornos del punto es una familia de entornos de $a$ de manera que para cada entorno del punto, existe uno básico contenido. Es decir, $\beta (a)$ es base de entornos de $a$ si y sólo si:

$\forall V \in Ent(a), \exist U \in \beta(a) : U \subseteq V$

Clases de bases de entornos

• Base de entornos abiertos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto abierto.
• Base de entornos cerrados: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto cerrado.
• Base de entornos compactos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto compacto.
• Base de entornos conexos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto conexo.
• Base de entornos conexos por caminos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto conexo por caminos.
• Base de entornos simplemente conexos: Es una base de entornos en la que cada entorno es un conjunto simplemente conexo.
• Base de entornos convexos: En un espacio vectorial topológico s una base de entornos de un punto en la que cada entorno es un conjunto convexo.