Medida armónica

En matemáticas, especialmente en teoría del potencial, medida armónica es un concepto relacionado con la teoría de función armónica que surge de la solución del Problema de Dirichlet clásico.

Harmonic measure is the exit distribution of Brownian motion

En teoría de la probabilidad, la medida armónica de un subconjunto del límite de un dominio acotado en Espacio euclídeo $R^{n}$, $n\geq 2$ es la probabilidad de que un Movimiento browniano iniciado dentro de un dominio llegue a ese subconjunto del límite. De manera más general, la medida armónica de un Itō diffusion X describe la distribución de X cuando alcanza el límite de D. En plano complejo, la medida armónica se puede utilizar para estimar el modulus de un función analítica dentro de un dominio D dados los límites del módulo en el boundary del dominio; un caso especial de este principio es Hadamard's three-circle theorem. En dominios planos simplemente conectados, existe una estrecha conexión entre la medida armónica y la teoría de transformación conforme.

El término medida armónica fue introducido por Rolf Nevanlinna en 1928 para dominios planos,​​, aunque Nevanlinna señala que la idea apareció implícitamente en trabajos anteriores de Johansson, F. Riesz, M. Riesz, Carleman, Ostrowski y Julia (orden original citada). La conexión entre la medida armónica y el movimiento browniano fue identificada por primera vez por Kakutani diez años después, en 1944.​

Definición

Sea D un bounded, open domain en n-dimensiónal Espacio euclídeo Rn, n ≥ 2, y sea ∂D' ' denota el límite de D. Cualquier función continua f : ∂D → 'R determina un función armónica H_f único que resuelve el Problema de Dirichlet

${\begin{cases}-\Delta H_{f}(x)=0,&x\in D;\\H_{f}(x)=f(x),&x\in \partial D.\end{cases}}$

Si un punto x ∈ D es fijo, por el Riesz–Markov–Kakutani representation theorem y el maximum principle H_f(x) determina un medida de probabilidad ω (x, D) en ∂D por

$H_{f}(x)=\int _{\partial D}f(y)\,\mathrm {d} \omega (x,D)(y).$

La medida e(x, D) se llama medida armónica (del dominio D con polo en x' ').

Propiedades

• Para cualquier subconjunto de Borel E de ∂D, la medida armónica omega;(x, D)(E) es igual al valor en x de la solución al problema de Dirichlet con datos de frontera iguales al función indicatriz de E.
• Para D y E fijos ⊆ ∂D, ω(x, D)( E) es una función armónica de x ∈ D y

$0\leq \omega (x,D)(E)\leq 1;$

$1-\omega (x,D)(E)=\omega (x,D)(\partial D\setminus E);$

Por lo tanto, para cada x y D, ω(x, D) es un medida de probabilidad en ∂D.

• Si ω(x, D)(E) = 0 incluso en un solo punto x de D , entonces $y\mapsto \omega (y,D)(E)$ es idénticamente cero, en cuyo caso se dice que E es un conjunto de medida armónica cero. Esta es una consecuencia de Desigualdad de Harnack.

Dado que normalmente no se dispone de fórmulas explícitas para la medida armónica, estamos interesados en determinar las condiciones que garantizan que un conjunto tenga medida armónica cero.

• F. y Teorema de M. Riesz:​ Si $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ es un dominio plano simplemente conexo limitado por un rectifiable curve (es decir, si $H^{1}(\partial D)<\infty$), entonces la medida armónica es mutuamente absolutamente continua con respecto a la longitud del arco: para todo $E\subset \partial D$, $\omega (X,D)(E)=0$ si y solo si $H^{1}(E)=0$.
• Teorema de Makarov:​ Sea $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ un dominio plano simplemente conexo. Si $E\subset \partial D$ y $H^{s}(E)=0$ para algún $s<1$, entonces $\omega (x,D)(E)=0$. Además, la medida armónica en D es mutually singular con respecto a la medida de Hausdorff de dimensión t para todo t > 1.

• Teorema de Dahlberg:​ Si $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ es un Dominio de Lipschitz acotado, entonces la medida armónica y la medida de Hausdorff (n − 1)-dimensional son mutuamente absolutamente continuas: para todo $E\subset \partial D$, $\omega (X,D)(E)=0$ si y solo si $H^{n-1}(E)=0$.

Ejemplos

• Si $\mathbb {D} =\{X\in \mathbb {R} ^{2}:|X|<1\}$ es la unidad de disco, entonces la medida armónica de $\mathbb {D}$ con polo en el origen es una medida de longitud en el círculo unitario normalizada para ser una probabilidad, es decir, $\omega (0,\mathbb {D} )(E)=|E|/2\pi$ para todos los $E\subset S^{1}$ donde $|E|$ denota la longitud de $E$.
• Si $\mathbb {D}$ es la unidad de disco y $X\in \mathbb {D}$, entonces $\omega (X,\mathbb {D} )(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|X-Q|^{2}}}{\frac {dH^{1}(Q)}{2\pi }}$ para todos los $E\subset S^{1}$, donde $H^{1}$ denota la medida de longitud en el círculo unitario. El Radon–Nikodym derivative $d\omega (X,\mathbb {D} )/dH^{1}$ se llama Núcleo de Poisson.
• De manera más general, si $n\geq 2$ y $\mathbb {B} ^{n}=\{X\in \mathbb {R} ^{n}:|X|<1\}$ son la bola unitaria de n dimensiones, entonces la medida armónica con el polo en $X\in \mathbb {B} ^{n}$ es $\omega (X,\mathbb {B} ^{n})(E)=\int _{E}{\frac {1-|X|^{2}}{|X-Q|^{n}}}{\frac {dH^{n-1}(Q)}{\sigma _{n-1}}}$ para todos los $E\subset S^{n-1}$, donde $H^{n-1}$ denota la medida de la superficie ((n −&nbsp. 1)-dimensional Hausdorff measure) en la esfera unitaria $S^{n-1}$ y $H^{n-1}(S^{n-1})=\sigma _{n-1}$.

• 

  Harmonic Measure on Simply Connected Planar Domains

  Si $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ es un dominio plano simplemente conectado delimitado por Curva y X$\in$D, entonces $\omega (X,D)(E)=|f^{-1}(E)|/2\pi$ para todos los $E\subset \partial D$ donde $f:\mathbb {D} \rightarrow D$ es el Riemann map único que envía el origen a X, es decir. $f(0)=X$. Ver Carathéodory's theorem.
• Si $D\subset \mathbb {R} ^{2}$ es el dominio delimitado por Copo de nieve de Koch, entonces existe un subconjunto $E\subset \partial D$ del copo de nieve de Koch tal que $E$ tiene longitud cero ($H^{1}(E)=0$) y medida armónica completa $\omega (X,D)(E)=1$.

==La medida armónica de una difusión==.

Considere una difusión de Ito X con valor Rn que comienza en algún punto x en el interior de un dominio D, con ley P^x . Supongamos que se desea conocer la distribución de los puntos en los que "X" sale de "D". Por ejemplo, el movimiento browniano canónico B en recta real que comienza en 0 sale de interval (−1, +1) en −1 con probabilidad ½ y en +1 con probabilidad ½, por lo que B' 'τ_(−1, +1) es uniformly distributed en el conjunto −1, +1.

En general, si G es compactly embedded dentro de Rn, entonces la medida armónica

(o distribución de impacto) de X en el límite ∂G de G es la medida μ_G^x definida por

$\mu _{G}^{x}(F)=\mathbf {P} ^{x}{\big [}X_{\tau _{G}}\in F{\big ]}$

para x ∈ G y F ⊆ ∂G.

Volviendo al ejemplo anterior del movimiento browniano, se puede demostrar que si B es un movimiento browniano en Rn comenzando en x ∈ Rn y D ⊂ Rⁿ es un bola (matemática) centrado en x, entonces la medida armónica de B en ∂D es invariant bajo todos los movimiento de rotación de D alrededor de x y coincide con el surface measure normalizado en ∂D

Referencias generales

• Garnett, John B.; Marshall, Donald E. (2005). Harmonic Measure. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-47018-6. 

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth edición). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.  MR 2001996 (Ver Secciones 7, 8 y 9)

• Capogna, Luca; Kenig, Carlos E.; Lanzani, Loredana (2005). Harmonic Measure: Geometric and Analytic Points of View. University Lecture Series. ULECT/35. American Mathematical Society. p. 155. ISBN 978-0-8218-2728-4. 

Referencias

• P.Jones y T.Wolff, Dimensión de Hausdorff de la Medida Armónica en el plano, Acta. Matemáticas. 161(1988)131-144(MR962097)(90j:31001)
• C.Kenig y T.Toro, Regularidad de límites libres para medidas armónicas y núcleos de Poisson, Ann. de Matemáticas. 150(1999)369-454MR 172669992001d:31004)
• C.Kenig, D.PreissandT. Toro, Estructura límite y tamaño en términos de medidas armónicas interiores y exteriores en dimensiones superiores, Jour. de Amer. Matemáticas. Soc.vol22 de julio de 2009, no3,771-796
• S.G.Krantz, La teoría y práctica de la geometría conforme, Dover Publ. Mineola Nueva York (2016) esp. Caso clásico Ch6

Enlaces externos

• Solomentsev, E.D. (2001), «Medida armónica», en Hazewinkel, Michiel, ed., Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104 .

• Datos: Q5659270
• Multimedia: Harmonic measure / Q5659270