Teorema de Segre

Para la definición de un óvalo finito: $t$ tangente, $s_{1},...s_{n}$ secantes, $n$ es el orden del plano proyectivo (número de puntos en una recta-1)

En geometría proyectiva, el teorema de Segre, que lleva el nombre del matemático italiano Beniamino Segre, es el siguiente enunciado:

Cualquier óvalo en un plano proyectivo papiano finito de orden impar, es una sección cónica proyectiva no degenerada.

Esta afirmación fue enunciada en 1949 por los matemáticos finlandeses G. Järnefelt y P. Kustaanheimo, y su demostración fue publicada en 1955 por B. Segre.

Un plano proyectivo papiano finito se puede imaginar como el cierre proyectivo del plano real (mediante una línea recta en el infinito), donde los números reales son reemplazados por un cuerpo finito K. Orden impar significa que |K|= n es impar. Un óvalo es una curva similar a una circunferencia (véanse las definiciones que figuran a continuación): cualquier recta lo corta en como máximo 2 puntos y por cualquiera de sus puntos pasa exactamente una tangente. Los ejemplos estándar son las secciones cónicas proyectivas no degeneradas.

En los planos proyectivos papianos de orden par mayor que cuatro hay óvalos que no son cónicas. En un plano infinito existen óvalos, que no son cónicas. En el plano real simplemente se pega la mitad de una circunferencia y una elipse adecuadas para garantizar la suavidad de la curva resultante.

La demostración del teorema de Segre, que se muestra a continuación, utiliza la versión de 3 puntos del teorema de Pascal y una propiedad de un campo finito de orden impar, es decir, que el producto de todos los elementos distintos de cero es igual a -1.

Definición de un óvalo

• En un plano proyectivo un conjunto ${\mathfrak {o}}$ de puntos se llama oval, si:

(1) Cualquier línea $g$ se encuentra con ${\mathfrak {o}}$ en como máximo dos puntos.

Si $|g\cap {\mathfrak {o}}|=0$ la línea $g$ es una línea exterior (o de paso); en caso $|g\cap {\mathfrak {o}}|=1$ una recta tangente y si $|g\cap {\mathfrak {o}}|=2$ la línea es una recta secante.

(2) Para cualquier punto $P\in {\mathfrak {o}}$ existe exactamente una tangente $t$ en P, es decir, $t\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}$.

Para planos finitos (es decir, el conjunto de puntos es finito) tenemos una caracterización más conveniente:

• Para un plano proyectivo finito de orden n (es decir, cualquier línea contiene puntos n + 1), un conjunto ${\mathfrak {o}}$ de puntos es un óvalo si y solo si $|{\mathfrak {o}}|=n+1$ y no tres puntos son colinealidad (en una línea común).

La versión de 3 puntos de Pascal

for the proof $g_{\infty }$ is the tangent at $P_{3}$

Teorema

Sea ${\mathfrak {o}}$ un óvalo en un plano proyectivo pápio de characteristic $\neq 2$.
${\mathfrak {o}}$ es una cónica no degenerada si y solo si la proposición (P3) sostiene:

(P3): Sea $P_{1},P_{2},P_{3}$ cualquier triángulo en ${\mathfrak {o}}$ y ${\overline {P_{i}P_{i}}}$ la tangente en el punto $P_{i}$ a ${\mathfrak {o}}$, luego los puntos

$P_{4}:={\overline {P_{1}P_{1}}}\cap {\overline {P_{2}P_{3}}},\ P_{5}:={\overline {P_{2}P_{2}}}\cap {\overline {P_{1}P_{3}}},\ P_{6}:={\overline {P_{3}P_{3}}}\cap {\overline {P_{1}P_{2}}}$

son colineales.​

Demostración del teorema de Pascal de los 3 puntos

Prueba

Sea el plano proyectivo coordinado inhomogeneously sobre un campo $K$ tal que $P_{3}=(0),\;g_{\infty }$ es la tangente en $P_{3},\ (0,0)\in {\mathfrak {o}}$, el eje x es la tangente en el punto $(0,0)$ y ${\mathfrak {o}}$ contiene el punto $(1,1)$. Además, configuramos $P_{1}=(x_{1},y_{1}),\;P_{2}=(x_{2},y_{2})\ .$ (ver imagen)
El óvalo ${\mathfrak {o}}$ se puede describir mediante una función $f:K\mapsto K$ tal que:

${\mathfrak {o}}=\{(x,y)\in K^{2}\;|\;y=f(x)\}\ \cup \{(\infty )\}\;.$

La tangente en el punto $(x_{0},f(x_{0}))$ se describirá usando una función $f'$ tal que su ecuación es

$y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$

Por lo tanto (s. imagen)

$P_{5}=(x_{1},f'(x_{2})(x_{1}-x_{2})+f(x_{2}))$ y $P_{4}=(x_{2},f'(x_{1})(x_{2}-x_{1})+f(x_{1}))\;.$

I: si ${\mathfrak {o}}$ es una cónica no degenerada tenemos $f(x)=x^{2}$ y $f'(x)=2x$ y se calcula fácilmente que $P_{4},P_{5},P_{6}$ son colineales.

II: Si ${\mathfrak {o}}$ es un óvalo con la propiedad (P3), la pendiente de la recta ${\overline {P_{4}P_{5}}}$ es igual a la pendiente de la recta ${\overline {P_{1}P_{2}}}$, eso significa:

$f'(x_{2})+f'(x_{1})-{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}$ y por lo tanto

(i): $(f'(x_{2})+f'(x_{1}))(x_{2}-x_{1})=2(f(x_{2})-f(x_{1}))$ para todos los $x_{1},x_{2}\in K$.

Con $f(0)=f'(0)=0$ se obtiene

(ii): $f'(x_{2})x_{2}=2f(x_{2})$ y de $f(1)=1$ obtenemos

(iii): $f'(1)=2\;.$

(i) y (ii) rendimiento

(iv): $f'(x_{2})x_{1}=f'(x_{1})x_{2}$ y con (iii) al menos obtenemos

(v): $f'(x_{2})=2x_{2}$ para todos los $x_{2}\in K$.

Una consecuencia de (ii) y (v) es

$f(x_{2})=x_{2}^{2},\;x_{2}\in K$.

Por tanto, ${\mathfrak {o}}$ es una cónica no degenerada.

Observación: La propiedad (P3) se cumple para cualquier óvalo en un plano proyectivo papio de característica 2 con núcleo (todas las tangentes se encuentran en el núcleo). Por lo tanto, en este caso (P3) también es válido para óvalos no cónicos.​

Teorema de Segre y su demostración

Teorema

Cualquier ${\mathfrak {o}}$ ovalado en un plano proyectivo "pappiano finito" de orden "impar" es una sección cónica no degenerada.

3-point version of Pascal's theorem, for the proof we assume $g_{\infty }={\overline {P_{2}P_{3}}}$

Segre's theorem: to its proof

Prueba

​

Para la prueba demostramos que el óvalo tiene la propiedad (P3) de la versión de 3 puntos del teorema de Pascal.

Sea $P_{1},P_{2},P_{3}$ cualquier triángulo en ${\mathfrak {o}}$ y $P_{4},P_{5},P_{6}$ definido como se describe en '(P3). El plano papio estará coordinado de manera no homogénea sobre un campo finito $K$, tal que $P_{3}=(\infty ),\;P_{2}=(0),\;P_{1}=(1,1)$ y $(0,0)$ es el punto común de las tangentes en $P_{2}$ y $P_{3}$. El óvalo ${\mathfrak {o}}$ se puede describir usando una función función biyectiva $f:K^{*}:=K\cup \setminus \{0\}\mapsto K^{*}$:

${\mathfrak {o}}=\{(x,y)\in K^{2}\;|\;y=f(x),\;x\neq 0\}\;\cup \;\{(0),(\infty )\}\;.$

Para un punto $P=(x,y),\;x\in K\setminus \{0,1\}$, la expresión $m(x)={\tfrac {f(x)-1}{x-1}}$ es la pendiente de la secante ${\overline {PP_{1}}}\;.$ Porque ambas funciones $x\mapsto f(x)-1$ y $x\mapsto x-1$ son biyecciones de $K\setminus \{0,1\}$ a $K\setminus \{0,-1\}$, y $x\mapsto m(x)$ una biyección de $K\setminus \{0,1\}$ a $K\setminus \{0,m_{1}\}$, donde $m_{1}$ es la pendiente de la tangente en $P_{1}$, para $K^{**}:=K\setminus \{0,1\}\;:$ obtenemos

$\prod _{x\in K^{**}}(f(x)-1)=\prod _{x\in K^{**}}(x-1)=1\quad {\text{und}}\quad m_{1}\cdot \prod _{x\in K^{**}}{\frac {f(x)-1}{x-1}}=-1\;.$

(Observación: Para $K^{*}:=K\setminus \{0\}$ tenemos: $\displaystyle \prod _{k\in K^{*}}k=-1\;.$)
Por eso

$-1=m_{1}\cdot \prod _{x\in K^{**}}{\frac {f(x)-1}{x-1}}=m_{1}\cdot {\frac {\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(f(x)-1)}{\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(x-1)}}=m_{1}\;.$

Porque las pendientes de la recta ${\overline {P_{5}P_{6}}}$ y la tangente ${\overline {P_{1}P_{1}}}$ ambos son $-1$, se deduce que ${\overline {P_{1}P_{1}}}\cap {\overline {P_{2}P_{3}}}=P_{4}\in {\overline {P_{5}P_{6}}}$. Esto es válido para cualquier triángulo $P_{1},P_{2},P_{3}\in {\mathfrak {o}}$.

Entonces: (P3) del teorema de Pascal de los 3 puntos se cumple y el óvalo es una cónica no degenerada.

Bibliografía

• B. Segre: Óvalos en un plano proyectivo finito, Canadian Journal of Mathematics 7 (1955), págs. 414–416.
• G. Järnefelt y P. Kustaanheimo: Una observación sobre geometrías finitas, Den 11 te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim (1949), págs. 166–182.
• Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Geometría proyectiva. 2. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X, pág. 162.
• P. Dembowski: Geometrías finitas. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8, p.149

Enlaces externos

• Simeon Ball y Zsuzsa Weiner: "An Introduction to Finite Geometry" (Una introducción a la geometría finita) [1]