Colineación central

Zentralkollineation: Für jeden Punkt $P$ sind $Z,P,\pi (P)$ kollinear

En geometría, una colineación definida por un "punto central" y un "hiperplano fijo" se denomina colineación central (abreviado: perspectividad). El centro es un punto del espacio proyectivo que no pertenece al hiperplano, con la propiedad de que cada recta que pasa por este punto es una recta fija de la perspectiva.

Más antiguo que el término perspectividad en el sentido de una función biyectiva que genera una autoimagen de un espacio proyectivo al menos bidimensional, es el concepto de posición de perspectiva de estructuras unidimensionales​ entre sí, como se puede ver en la figura de la derecha. Más modernamente, se habla de una proyección central o de una perspectiva axial. Estas aplicaciones, vinculadas con el teorema de Pascal, generalmente solo pueden generar una perspectiva de todo el espacio si este espacio es papusiano y cumple con el axioma de Fano. Dicho algebraicamente: si el espacio de mayor dimensión $\mathbb {P} ^{n}(K),n\geq 2$ está definido sobre un cuerpo conmutativo $K$ con una característica $\operatorname {char} (K)\neq 2$. Dado que hasta la segunda mitad del siglo XIX (implícitamente, porque por entonces se desarrolló la axiomática de los números reales) la geometría proyectiva "real", a lo sumo "tridimensional" (como "geometría de posición"). En consecuencia, la "asignación de perspectiva" y la "perspectividad" no están claramente diferenciadas en la bibliografía más antigua y, a menudo, se hace referencia a ellas de la misma manera.

La configuración inicial del teorema de Desargues era un caso típico de “perspectividad” en la geometría de posición: los triángulos coloreados $\Delta (ABC)$ y $\Delta (A'B'C')$ están en posición de perspectiva entre sí como se ve desde el punto $Z$. Entonces, existe una perspectiva ("central") que relaciona entre sí los puntos con comilla y sin comilla. Si se cumple el teorema de Desargues, entonces los triángulos también están en perspectiva entre sí, vistos desde el eje $a$. Entonces, existe exactamente una perspectiva (en el sentido de la nueva geometría proyectiva) de todo el plano, que asigna a cada punto del plano su correspondiente punto en perspectiva

En geometría sintética, el término "perspectiva plana" (sobre el plano proyectivo) se define independientemente del término "proyectividad": una perspectiva es un colineación (proyectiva) con un centro y una recta fija (como eje). Para planos proyectivos, el término es sinónimo del término "colineación central-axial".

La definición de geometría sintética para desarguessche son planos proyectivos - estos son precisamente los planos que también pueden entenderse como "espacios proyectivos" bidimensionales en el sentido de analytischen Geometrie - equivalente a la definición como "proyectividades" con centro y eje. Permite generalizar el concepto de ?proyectividad? a niveles no desarguesianos.

? Las perspectivas planas tienen una aplicación importante en el Klassifikation projektiver Ebenen.

Definiciones

Perspectividad en un espacio desarguesiano

Sea $K$ un Anillo de división, $n\in \mathbb {N} ,\;n\geq 2$ y $\mathbb {P} ^{n}(K)$ el espacio proyectivo $n$-dimensionale sobre $K$. Entonces una proyectividad $\pi :\mathbb {P} ^{n}(K)\rightarrow \mathbb {P} ^{n}(K)$ se denomina perspectiva proyectiva si se cumple una de las siguientes condiciones​ equivalentes:

1. Existe un punto $Z\in \mathbb {P} ^{n}(K)$ tal que cada recta de $g$ a $Z$ es una recta fija de $\pi$, por lo que se aplica $\pi (g)=g$.
2. Existe un hiperplano de punto fijo, el eje​ $H$ de $\pi$, es decir, un subespacio proyectivo $n-1$-dimensional $H<\mathbb {P} ^{n}(K)$, tal que la restricción $\left.\pi \right|_{H}$ es el función identidad de $H$.

Perspectividad en un plano proyectivo

Sea ${\mathfrak {P}}$ un plano proyectivo. Entonces una colineación $\kappa :{\mathfrak {P}}\rightarrow {\mathfrak {P}}$ se llama perspectiva proyectiva si se cumple una de las siguientes condiciones​ equivalentes:​

1. Existe un punto $Z\in {\mathfrak {P}}$ tal que cada recta de $g$ a $Z$ es una recta fija de $\kappa$, por lo que se aplica $\kappa (g)=g$.
2. Existe una recta de punto fijo $h$ de $\kappa$, es decir, una recta del plano ${\mathfrak {P}}$, de modo que la restricción $\left.\kappa \right|_{h}$ es el mapeo idéntico de $h$.

Conexión de las definiciones

Un plano proyectivo Desargue es siempre isomorfo a un espacio proyectivo bidimensional $\mathbb {P} ^{2}(K)$ sobre un cuerpo oblicuo $K$ que está determinado únicamente por el plano hasta el isomorfismo. Una colineación de dicho espacio ya es verdadera para la doble razón si no cambia el Razón anarmónicase para los puntos en una recta proyectiva (? comparar el artículo Colineación). Dado que una "perspectividad" es una colineación con una recta de punto fijo, inicialmente es fiel a la doble razón para esta recta y, por lo tanto, en general, es por lo tanto una proyectividad.

Proyectividad en un plano no desarguesiano

En geometría sintética se define: Sea ${\mathfrak {P}}$ un plano proyectivo arbitrario. Entonces un mapeo se llama $\kappa :{\mathfrak {P}}\rightarrow {\mathfrak {P}}$ proyectividad si puede representarse como un Komposition de un número finito de perspectivas.

Como composición de colineaciones especiales, una imagen como $\kappa$ también es, por supuesto, una colineación, especialmente función biyectiva. En un plano desarguesiano, como las perspectivas, es fiel a las dobles proporciones. Se puede demostrar que una colineación de doble proporción siempre puede representarse mediante una cadena de perspectivas y que nunca es necesario encadenar más de tres perspectivas para esta representación compositiva.​ Esto significa que las definiciones de álgebra lineal y geometría sintética para planos desarguesianos son equivalentes.

Tenga en cuenta, sin embargo, que la concatenación de dos perspectivas generalmente no es una perspectiva.

Perspectivas de nivel

• Cada colineación de un affinen Ebene claramente puede continuar hasta una colineación en su conclusión proyectiva.

Entonces Punto del infinito es una recta fija de colineación proyectiva. Por el contrario, una colineación en un plano proyectivo corresponde a una colineación del plano afín, que se crea cortando el plano proyectivo si la colineación se corta en una recta fija.

• Los términos generalizados ?Affinität? y ?proyectividad? (ver arriba) de la geometría sintética son compatibles: una colineación de un plano proyectivo con (al menos) una recta fija es una proyectividad si y solo si su restricción a una (equivalentemente: a cada uno) Una colineación en un plano afín es una afinidad si y solo si su continuación en la terminación proyectiva del plano es una proyectividad. Sin embargo, también existen proyectividades sin recta fija.
• Una colineación de un plano proyectivo se llama colineación axial si existe una recta $a$ que sea Fixpunktgerade de la colineación, es decir, la restricción de la colineación en cuestión a $a$ es la función identidad de la recta. En este caso, $a$ se denomina eje de colineación axial.
• Una colineación de un plano proyectivo se denomina colineación central si existe un punto $Z$ tal que cada recta que pasa por $Z$ es una recta fija de la colineación. Esto significa que $Z$ también es automáticamente un Fixpunkt de la colineación y se denomina centro de la colineación.

Propiedades y designaciones

• Los términos colineación axial y colineación central son duales entre sí.
• Una colineación no idéntica tiene como máximo un centro y como máximo un eje.​
• Una colineación es central si y solo si es axial.​
  • Una colineación central o axial (y por lo tanto ambas) también se denomina colineación central-axial​ o perspectiva plana.
• Para una perspectiva no idéntica se aplica:​

1. El conjunto de puntos fijos se compone exactamente del conjunto de puntos del eje junto con el centro,
2. el conjunto de rectas fijas consta exactamente del eje junto con todas las rectas que pasan por el centro,
3. está determinado únicamente por su eje, su centro y un punto, par de píxeles (ni en el eje ni en el centro).

• El conjunto de colineaciones centrales con centro fijo forma un subgrupo del grupo proyectivo,
• el conjunto de colineaciones axiales con eje fijo $a$ forma un subgrupo del grupo proyectivo y
  • el conjunto de colineaciones centro-axiales centradas en el eje fijo $a$ forma un subgrupo de este último grupo.

===Construcción, existencia y claridad de la imagen===.

Bildkonstruktion bei einer ebenen Perspektivität aus deren Achse $a$ und dem Zentrum $Z$ (blau) mit der Hilfe eines gegebenen Punkt-Bildpunktpaares $(A_{1},A_{2})$.

Desde una perspectiva plana se nos da el eje $a$ y el centro $Z$. Compare la figura de la derecha: el eje y el centro son azules. Además, para un punto $A_{1}$ que no está en el eje y no coincide con el centro, se conoce su punto imagen $A_{2}$. Este debe estar en Verbindungsgeraden $A_{1}+Z$​ porque es una recta fija.

1. Dibujamos la recta conectora $B_{1}$ con otro punto $B_{1}+A_{1}$; corta al eje $a$ en un punto fijo $F$.
2. La imagen de $B_{1}+A_{1}=A_{1}+F$ es la recta $A_{2}+F$.
3. La recta de conexión $B_{1}+Z$ es una recta fija.
4. La imagen de $B_{1}$ bajo la perspectiva es $B_{2}$. Esta es la intersección de la recta fija $B_{1}+Z$ de 3 y la recta $A_{2}+F$ de 2.

Casos especiales:

• Si el punto $B_{1}$ se encuentra en la recta fija $A_{1}+A_{2}=A_{1}+Z$, primero se debe construir la imagen $H_{2}$ de un punto auxiliar $H_{1}$ fuera de la recta fija y el eje de acuerdo con el texto de construcción especificado. Este par de puntos auxiliares se puede utilizar luego para la construcción.
• La descripción del diseño también se puede aplicar cuando el centro $Z$ está en el eje $a$.

Unicidad y Existencia:
Las especificaciones son las indicadas anteriormente: ¿Cuándo existe una colineación clara con la recta de punto fijo $a$ y el punto fijo $Z$ que asigna el punto $A_{1}$ a $A_{2}\in (A_{1}+Z)$? Suponemos $A_{1},A_{2}\not \in a;\;Z\not \in \{A_{1},A_{2}\}$, pero no $A_{1}\neq A_{2}$ inicialmente.

• Si existe tal colineación, es axial porque tiene una recta de punto fijo, por lo que es una perspectiva. Por lo tanto, también debe tener un centro y éste solo puede ser $Z$ (o la colineación es el mapeo idéntico), ya que $A_{1}+Z$ es una recta fija. El texto de construcción lo deja claro: ¡No puede haber otra colineación que cumpla con los requisitos!
• En particular, la colineación para $A_{1}=A_{2}$ existe y, por lo tanto, es la asignación idéntica.
• Suficiente para que exista en el caso $A_{1}\neq A_{2}$ es que el par $(Z,a)$ esté contenido en el Lenz-Barlotti-Figur del nivel.
• Existe una colineación para cada par de $(Z,a);Z\in a$ y cada par de $(A_{1},A_{2})$ de puntos diferentes con $Z\in (A_{1}+A_{2}),\,Z\not \in \{A_{1},A_{2}\},\,A_{1},A_{2}\not \in a$ si y solo si el plano proyectivo es un Moufangebene, es decir, pertenece a la clase VII de Lenz.
• Exactamente entonces existe crea una colineación para cualquier par $(Z,a)$ y cualquier par $(A_{1},A_{2})$ de puntos diferentes con $Z\in (A_{1}+A_{2}),\,Z\not \in \{A_{1},A_{2}\},\,A_{1},A_{2}\not \in a$ si el plano proyectivo es desarguesiano, es decir, pertenece a la clase VII.2 de Lenz-Barlotti.
• Un caso especial es el Plano de Fano, el modelo mínimo de un plano proyectivo que tiene exactamente tres puntos en cada recta. Es un plano desarguesiano e incluso pappussche y aquí se cumple la condición antes mencionada: Toda colineación con un eje $a$ y un punto fijo $Z\not \in a$ fuera del eje es el mapeo idéntico, ya que para un punto $A_{1}\not \in \{Z\}\cup a$ no hay punto imagen diferente. de $A_{1}$ en $(Z+A_{1})\setminus (\{Z\}\cup a)=\{A_{1}\}$ existe.

Formas de hablar

Si mantiene una determinada recta en un plano proyectivo como una recta de larga distancia, lo que ya se hace implícitamente al seleccionar un sistema de coordenadas proyectivo, entonces esto generalmente se llama perspectiva plana.

• colineación axial si su centro está en la recta de larga distancia pero su eje no es la recta de larga distancia,
• colineación central si su eje es la recta de larga distancia pero su centro no es un punto de larga distancia,
• Traslación (proyectiva) si su eje es la recta de larga distancia y su centro es un punto de larga distancia.

La motivación para esta regulación lingüística queda clara en los ejemplos relacionados a continuación. En la situación descrita, no existe una regulación lingüística para perspectivas no idénticas en las que ni el centro ni el eje son inauténticos; la recta de larga distancia no puede ser una recta fija, por lo que no operan en la sección afín del plano proyectivo.

Ejemplos

Al especificar el eje y el centro en los siguientes ejemplos, siempre se supone que la colineación considerada no es la identidad del plano.

• En cualquier plano de incidencia afín, la continuación proyectiva de un Translation es una perspectiva (una ?traducción proyectiva?): el eje es la recta de larga distancia y el centro es el punto lejano de la recta de seguimiento del desplazamiento.
• En cualquier plano de incidencia afín, la continuación proyectiva de un Dilatation es una perspectiva: el eje es la recta de larga distancia, el centro es el punto fijo afín, si dicho punto fijo existe como un punto real; de lo contrario, la dilatación es una traslación. .
• En un plano desarguesiano, la continuación proyectiva de un Zentrischen Streckung es una perspectiva (una ?colineación central?). El centro aquí es el centro de la extensión, el eje es nuevamente la recta de larga distancia. Dado que el concepto de estiramiento céntrico se puede generalizar a affine Translationsebenen, esto también se aplica a estos niveles.
• En un plano de Desargue, la continuación proyectiva de un Scherung es central-axial (una ?colineación axial?): el eje es la recta de punto fijo afín junto con su punto lejano, el centro es este punto lejano.
• En un plano de Desargue que satisface Fano-Axiom, la continuación de un Schrägspiegelung es una colineación central-axial (una ?colineación axial?): el eje es el eje del espejo junto con su punto lejano, el centro es la dirección en la que tiene lugar la reflexión.
• Por otro lado, la continuación proyectiva de un Rotación (matemáticas) del plano euclidiano solo es una perspectiva si la rotación se produce en un múltiplo de 180°, es decir, la rotación es un Reflexión (matemática) o la identidad. Dado que cada rotación del plano euclidiano es una composición de dos reflexiones del eje vertical, es decir, reflexiones oblicuas especiales (cf. Kongruenzabbildung), las continuaciones proyectivas de rotaciones proporcionan ejemplos de proyectividades que no son perspectivas.

Bibliografía

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Referencias

• Datos: Q20827254