Aproximación para ángulos pequeños

Comportamiento semejante de las funciones trigonométricas para x → 0

La aproximación para ángulos pequeños es una simplificación conveniente de las leyes trigonométricas que tiene una precisión aceptable cuando el ángulo tiende a cero. Surge de la linealización de las funciones trigonométricas, que se puede entender como un truncamiento de las correspondientes series de Taylor. Para un ángulo especificado en radianes:

$\sin x\simeq x$

$\cos x\simeq 1$, ó $\cos x\simeq 1-{\frac {x^{2}}{2}}$, aproximación de segundo orden

$\tan x\simeq x$

El error para sen x ≈ x es de 1% alrededor de los 14 grados sexagesimales (0,244 radianes).

La aproximación para ángulos pequeños es empleada para abreviar cálculos de electromagnetismo, óptica (ver: aproximación paraxial), cartografía y astronomía.​

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Justificación

Gráfica

La precisión de las aproximaciones puede verse en la Figura 1 y la Figura 2. A medida que la medida del ángulo se aproxima a cero, la diferencia entre la aproximación y la función original también se aproxima a 0.

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  Figura 1. Comparación de las funciones trigonométricas básicas de odd con θ. Se observa que a medida que el ángulo se acerca a 0 las aproximaciones son mejores.
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  Figura 2. Figura 2. Una comparación de cos θ a 1 − θ²/2. Se ve que a medida que el ángulo se aproxima a 0 la aproximación se vuelve mejor.

Geométrica

La sección roja de la derecha, d, es la diferencia entre las longitudes de la hipotenusa, H, y el lado adyacente, A. Como se muestra, H y A tienen casi la misma longitud, lo que significa que cos θ está cerca de 1 y θ²/2 ayuda a recortar el rojo.

$$\cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}$$

El tramo opuesto, O, es aproximadamente igual a la longitud del arco azul, s. Reuniendo datos de la geometría, s = Aθ, de la trigonometría, sin θ = O/H y tan θ = O/A, y de la imagen, O ≈ s y H ≈ A lleva a:

$$\sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .$$

Simplificando

$$\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .$$

Cálculo

Usando el Teorema del emparedado,​ se puede probar que

$$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,$$

que es un replanteamiento formal de la aproximación $\sin(\theta )\approx \theta$ for small values of θ.

Una aplicación más cuidadosa del Teorema del emparedado demuestra que

$$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,$$

de lo que se deduce que $\tan(\theta )\approx \theta$ for small values of θ.

Finalmente, la regla de L'Hôpital nos dice que

$$\lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},$$

que se reordena a ${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ para pequeños valores de θ. $\cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A$. Dejando que $\theta =2A$, se tiene que ${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$.

• Datos: Q1760468