Centralidad de cercanía

En análisis de redes sociales, la centralidad de cercanía, o simplemente cercanía (en inglés, closeness), es una medida de centralidad basada en las ideas de Bavelas (1950), definida formalmente por Beauchamp (1965) y Sabidussi (1966), con aplicaciones en redes de comunicación,​ y luego popularizada por Freeman (1979). Es la más conocida y utilizada de las medidas radiales de longitud. Se basa en calcular la suma o bien el promedio de las distancias geodésicas (o longitudes de los caminos más cortos) desde un nodo hacia todos los demás.​ Note que mientras mayor sea la «distancia» entre dos vértices, menor será la «cercanía» entre estos. Por lo tanto, la cercanía se define como el inverso multiplicativo de la «lejanía» entre dos vértices.​

Formalmente, para un grafo (dirigido o no dirigido), sea $d(u,v)$ la distancia geodésica entre los nodos $u$ y $v$, la cercanía $C_{C}(u)$ de un nodo $u\in V$ se define como:

$C_{C}(u)={\frac {1}{\sum _{v\in V}d(u,v)}}$

Sea $S$ la matriz de distancias de la red, es decir, aquella matriz cuyos elementos $(i,j)$ corresponden a la distancia geodésica desde el nodo $i$ hasta el nodo $j$, entonces una definición alternativa es la siguiente:

$C_{C}(i)={\frac {1}{\sum _{j=1}^{n}(S)_{ij}}}$

Para normalizar esta medida, se considera el mayor valor posible que podría asumir la medida para un nodo. Si el grafo no admite bucles, entonces un nodo a lo más puede conectarse directamente a los $n-1$ nodos restantes; si admite bucles (y asumimos que no es un multigrafo), entonces podrá conectarse directamente con los $n$ nodos de la red. Por lo tanto, la medida normalizada queda definida formalmente, para ambos casos, respectivamente:

$C_{C}(u)={\frac {n-1}{\sum _{v\in V}d(u,v)}}\,\,\,$ o bien $\,\,\,C_{C}(u)={\frac {n}{\sum _{v\in V}d(u,v)}}$

En una red de flujo esta medida se puede interpretar como el tiempo de llegada a destino de algo que fluye a través de la red.​ También puede interpretarse como la rapidez que tomará la propagación de la información desde un nodo a todos los demás.​ La cercanía mide de alguna forma la accesibilidad de un nodo en la red. Este concepto es utilizado también de manera similar en topología, donde se define como un espacio métrico.

Note que en un grafo disconexo, la cercanía de todos los vértices será siempre igual a 0, dado que siempre existirá algún otro nodo para el cual la distancia geodésica con él resulta infinita. Por lo tanto, la centralidad de cercanía tiene la desventaja de que solo se puede aplicar, en el caso de redes no dirigidas, sobre grafos conexos o componentes conexos, y para redes dirigidas, sobre componentes fuertemente conexos.​

Variantes de la cercanía

En lugar de considerar la suma de las distancias geodésicas de un nodo hacia todos los demás, existe una variante que se enfoca únicamente en hallar la menor de estas distancias geodésicas. La excentricidad de un nodo es la mayor distancia entre ese nodo y cualquier otro del grafo. El centro de Jordan refiere al subconjunto de nodos con menor excentricidad dentro del grafo. Este centro puede encontrarse fácilmente a partir de la matriz de distancias del grafo, seleccionando aquellos nodos que comparten el menor valor máximo de sus respectivas filas en la matriz.​ Un concepto relacionado muy antiguo, al menos desde Sylvester (1882), es el de centroide, más apropiado específicamente para árboles.​ La idea es que para cada nodo del árbol, se considera el peso de cada una de sus ramas o caminos que parten desde dicho nodo, donde el peso de una rama es su número de aristas. El nodo se queda con el mayor de los pesos resultantes de entre todas sus ramas. El centroide corresponde así al subconjunto de nodos que comparten el peso final más pequeño.​

Existen algunas variantes de la cercanía que permiten trabajar con grafos disconexos. Una alternativa natural, siguiendo las ideas de Lin (1976), es considerar únicamente los nodos accesibles desde o hacia el nodo cuya centralidad se está midiendo.​ Sea $J_{u}$ el número de actores dentro del rango de influencia de $u$ (o accesibles desde o hacia $u$, dependiendo de si se desea trabajar con aristas de salida o de llegada en un grafo dirigido, respectivamente), se puede definir la siguiente variante de la centralidad de cercanía:

$C_{C}^{*}(u)={\frac {J_{u}/(n-1)}{\sum _{v\in V}d(u,v)/J_{u}}}$

donde $J_{u}/(n-1)$ es la proporción de nodos accesibles en el componente conexo, y $\sum _{v\in V}d(u,v)/J_{u}$ es la distancia media de los nodos a $v$.​

Otra opción es la de Dangalchev (2006), quien propone la siguiente medida de vulnerabilidad en las redes:​

$C_{DC}(i)=\sum _{j=1}^{n}2^{-(S)_{ij}}$

Adicionalmente, Opsahl (2010) también propuso otra extensión alternativa para redes con componentes disconexos.​

La medida tradicional de cercanía asume que la propagación de información siempre se da en la red a través del camino más corto. Este modelo puede no ser el más realista para algunos tipos de escenarios de comunicación. Por ello han surgido algunas variantes de esta medida como la denominada cercanía por camino aleatorio (en inglés, random-walk closeness centrality), introducida por Noh y Rieger (2003) y que considera caminos aleatorios para acceder de un nodo a los demás, en lugar de escoger siempre el camino más corto.​

Véase también

• Centralidad

Bibliografía

• Wasserman, Stanley; Faust, Katherine (2013) [1994]. Análisis de redes sociales: Métodos y aplicaciones. Madrid: Centro de Investigaciones Sociológicas. ISBN 978-84-7476-631-8. OCLC 871814053.