Diferencia entre revisiones de «Policubo»

De Wikipedia, la enciclopedia libre
Ir a siguiente diferencia →
Contenido eliminado Contenido añadido
VisualWikitexto
Policubo
(Sin diferencias)

Revisión del 12:24 25 jun 2020

Uno o varios wikipedistas están trabajando actualmente en este artículo o sección. Es posible que a causa de ello haya lagunas de contenido o deficiencias de formato.
Si quieres, puedes ayudar y editar, pero antes de realizar correcciones mayores contáctalos en sus páginas de discusión o en la del artículo para poder coordinar la redacción.
Uso de esta plantilla: {{En desarrollo|nombre de usuario|t={{sust:CURRENTTIMESTAMP}}}} o {{sust:En desarrollo}}
«Tetracubo» redirige aquí. Para el objeto cuatridimensional, véase teseracto.
Los 8 tetracubos lado a lado: si se ignora la quiralidad, los 2 inferiores en color gris se consideran iguales, dando 7 tetracubos libres en total
Un rompecabezas que implica organizar pentacubos

Un policubo es una figura sólida formada uniendo uno o más cubos iguales cara a cara. Los policubos son los análogos tridimensionales de los poliominós planos. El cubo Soma, el cubo de Bedlam, el cubo Diabólico, el puzle Slothouber–Graatsma y el puzle de Conway son ejemplos de problemas de empaquetamiento basados ​​en policubos.[1]​

Enumeración de policubos

Un pentacubo quiral

Al igual que los poliominós, los policubos se pueden enumerar de dos maneras, dependiendo de si los pares de policubos quirales se cuentan como un policubo o como dos. Por ejemplo, 6 tetracubos tienen simetría especular y uno es quiral, dando un recuento de 7 u 8 tetracubos respectivamente.[2]​ A diferencia de los poliominós, los policubos generalmente se cuentan con las parejas de figuras especulares como elementos distintos, puesto que no se puede voltear un policubo en tres dimensiones para reflejarlo, como sí se puede hacer con un poliominó. En particular, el Cubo Soma usa ambas formas quirales del tetracubo.

Se clasifican de acuerdo con la cantidad de celdas cúbicas que contienen:[3]​

n Nombre del n-policubo Número de n-policubos cara a cara distintos
(formas especulares contadas como distintas)
(sucesión A000162 en OEIS) 		Número de n-policubos libres
(formas especulares contadas como iguales)
(sucesión A038119 en OEIS)
1 monocubo 1 1
2 dicubo 1 1
3 tricubo 2 2
4 tetracubo 8 7
5 pentacubo 29 23
6 hexacubo 166 112
7 heptacubo 1023 607
8 octacubo 6922 3811

Los policubos se han enumerado hasta n=16.[4]​ Más recientemente, se han investigado familias específicas de policubos.[5]​[6]​

Simetrías de policubos

Al igual que con los poliominós, los policubos pueden clasificarse según la simetría que tengan. Las simetrías de los policubos (clases de conjugación de subgrupos del grupo octaedral aquiral) fueron enumeradas por primera vez por W. F. Lunnon en 1972. La mayoría de los policubos son asimétricos, pero muchos tienen grupos de simetría más complejos, hasta el grupo de simetría completa del policubo con 48 elementos. Numerosas otras simetrías son posibles; por ejemplo, hay siete formas posibles de simetría de 8 lóbulos.[2]​

Propiedades de los pentacubos

Un total de 12 pentacubos son planos, y corresponden a los pentominós. De los 17 restantes, 5 tienen simetría de espejo, y los otros 12 forman 6 pares quirales.

Los prismas que envuelven a los pentacubos tienen los tamaños siguientes: 5×1×1, 4×2×1, 3×3×1, 3×2×1, 4×2×2, 3×2×2 y 2×2×2.[7]​

Un policubo puede tener hasta 24 orientaciones en la red cúbica, o 48, si se permite la reflexión. De los pentacubos, los de dos pisos (5-1-1 y la cruz) tienen simetría especular respecto a los tres ejes del espacio; y solo tienen tres orientaciones. Otros 10 poseen una simetría especular, con 12 orientaciones posibles. Cada uno de los 17 pentacubos restantes tiene 24 orientaciones.

Octacubos y desarrollos de hipercubos

La cruz de Dalí

El teseracto (hipercubo de cuatro dimensiones) tiene ocho cubos como su facets, y así como el cubo puede ser unfolded en un hexomino, el tesseract puede desplegarse en un octacubo. Un despliegue, en particular, imita el conocido despliegue de un cubo en un Cruz latina: consta de cuatro cubos apilados uno encima del otro, con otros cuatro cubos unidos a las caras cuadradas expuestas del segundo cubo desde el cubo superior de la pila, para formar una forma tridimensional double cross. Salvador Dalí usó esta forma en su pintura de 1954 Crucifixión (Dalí)[8]​ y se describe en la historia corta de Robert A. Heinlein de 1940 "And He Built a Crooked House" .[9]​ En honor a Dalí, este octacubo ha sido llamado la "Cruz de Dalí". [10]​[11]​ Puede tile space .[10]​

En términos más generales (respondiendo a una pregunta planteada por Martin Gardner en 1966), de los 3811 octacubos libres diferentes, 261 son desarrollos del tesseract. [10]​[12]​

Conectividad límite

Aunque se requiere que los cubos de un policubo estén conectados de cuadrado a cuadrado, no se requiere que los cuadrados de su límite estén conectados de borde a borde. Por ejemplo, el cubo de 26 formado formando una cuadrícula de cubos de 3 × 3 × 3 y luego eliminando el cubo central es un policubo válido, en el que el límite del vacío interior no está conectado al límite exterior. Tampoco se requiere que el límite de un policubo forme un variedad (matemáticas). Por ejemplo, uno de los pentacubos tiene dos cubos que se encuentran de borde a borde, de modo que el borde entre ellos es el lado de cuatro cuadrados de límite.

Si un policubo tiene la propiedad adicional de que su complemento (el conjunto de cubos enteros que no pertenecen al policubo) está conectado por caminos de cubos que se encuentran de cuadrado a cuadrado, entonces los cuadrados de límite del policubo también están necesariamente conectados por caminos de cuadrados que se juntan de borde a borde. [13]​ Es decir, en este caso el límite forma un polyominoid.

Plantilla:Unsolved Cada cubo k con k < 7, así como la cruz Dalí (con k = 8) puede ser unfolded a un poliomino que enlosa el plano. Es un open problem si cada policubo con un límite conectado se puede desplegar en un poliomino, o si esto siempre se puede hacer con la condición adicional de que el poliomino enlose el plano. [11]​

Uno o varios wikipedistas están trabajando actualmente en este artículo o sección. Es posible que a causa de ello haya lagunas de contenido o deficiencias de formato.
Si quieres, puedes ayudar y editar, pero antes de realizar correcciones mayores contáctalos en sus páginas de discusión o en la del artículo para poder coordinar la redacción.
Uso de esta plantilla: {{En desarrollo|nombre de usuario|t={{sust:CURRENTTIMESTAMP}}}} o {{sust:En desarrollo}}

Doble gráfico

La estructura de un policubo se puede visualizar mediante un "gráfico doble" que tiene un vértice para cada cubo y una arista para cada dos cubos que comparten un cuadrado. [14]​ Esto es diferente de las nociones con nombres similares de un poliedro conjugado y de grafo dual de un gráfico de superficie incrustada.

Los gráficos duales también se han utilizado para definir y estudiar subclases especiales de los policubos, como aquellos cuyo gráfico dual es un árbol. [15]​

Ver también

Referencias

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "Polycube." From MathWorld
  2. ↑ a b Lunnon, W. F. (1972). «Symmetry of Cubical and General Polyominoes». En Read, Ronald C., ed. Graph Theory and Computing. New York: Academic Press. pp. 101-108. ISBN 978-1-48325-512-5. 
  3. ↑ Polycubes, at The Poly Pages
  4. ↑ Kevin Gong's enumeration of polycubes
  5. ↑ "Enumeration of Specific Classes of Polycubes", Jean-Marc Champarnaud et al, Université de Rouen, France PDF
  6. ↑ "Dirichlet convolution and enumeration of pyramid polycubes", C. Carré, N. Debroux, M. Deneufchâtel, J. Dubernard, C. Hillairet, J. Luque, O. Mallet; November 19, 2013 PDF
  7. ↑ Aarts, Ronald M. "Pentacube". From MathWorld.
  8. ↑ Kemp, Martin (1 January 1998), «Dali's dimensions», Nature 391 (27), Bibcode:1998Natur.391...27K, doi:10.1038/34063 .
  9. ↑ Fowler, David (2010), «Mathematics in Science Fiction: Mathematics as Science Fiction», World Literature Today 84 (3): 48-52, JSTOR 27871086, «Robert Heinlein's "And He Built a Crooked House," published in 1940, and Martin Gardner's "The No-Sided Professor," published in 1946, are among the first in science fiction to introduce readers to the Moebius band, the Klein bottle, and the hypercube (tesseract).» ..
  10. ↑ a b c Diaz, Giovanna; O'Rourke, Joseph, Hypercube unfoldings that tile and , Bibcode:2015arXiv151202086D, arXiv:1512.02086 ..
  11. ↑ a b Langerman, Stefan; Winslow, Andrew (2016), «Polycube unfoldings satisfying Conway's criterion», 19th Japan Conference on Discrete and Computational Geometry, Graphs, and Games (JCDCG^3 2016) ..
  12. ↑ Turney, Peter (1984), «Unfolding the tesseract», Journal of Recreational Mathematics 17 (1): 1-16, MR 765344 ..
  13. ↑ Bagchi, Amitabha; Bhargava, Ankur; Chaudhary, Amitabh; Eppstein, David; Scheideler, Christian (2006), «The effect of faults on network expansion», Theory of Computing Systems 39 (6): 903-928, MR 2279081, arXiv:cs/0404029, doi:10.1007/s00224-006-1349-0 .. See in particular Lemma 3.9, p. 924, which states a generalization of this boundary connectivity property to higher-dimensional polycubes.
  14. ↑ Barequet, Ronnie; Barequet, Gill; Rote, Günter (2010), «Formulae and growth rates of high-dimensional polycubes», Combinatorica 30 (3): 257-275, MR 2728490, doi:10.1007/s00493-010-2448-8 ..
  15. ↑ Aloupis, Greg; Bose, Prosenjit K.; Collette, Sébastien; Demaine, Erik D.; Demaine, Martin L.; Douïeb, Karim; Dujmović, Vida; Iacono, John; Langerman, Stefan; Morin, Pat (2011), «Common unfoldings of polyominoes and polycubes», Computational geometry, graphs and applications, Lecture Notes in Comput. Sci. 7033, Springer, Heidelberg, pp. 44-54, MR 2927309, doi:10.1007/978-3-642-24983-9_5 ..

Enlaces externos

Obtenido de «https://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Policubo&oldid=127227324»