Teorema de Cantor

El teorema de Cantor es un resultado formalizable en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fränkel, que afirma lo siguiente:

El conjunto potencia de cualquier conjunto A tiene una cardinalidad estrictamente mayor que la cardinalidad del propio A.

Discusión

El teorema de Cantor es obvio para conjuntos finitos: si un conjunto finito tiene n elementos entonces el conjunto de partes de ese conjunto tiene 2ⁿ elementos. El hecho de que sea válido para todo conjunto infinito no es del todo intuitivo, pero permite establecer varios resultados interesantes:

• Existe una infinidad de cardinales transfinitos, lo cual significa que en realidad existen muchos tipos de infinito (de hecho una infinidad) cada uno mayor que el anterior. Este resultado a priori es muy poco intuitivo, pero tremendamente importante en la fundamentación de las matemáticas.
• No existe ninguna manera de enumerar todos los subconjuntos de $\mathbb {N}$.

Para ilustrar la validez de este teorema para conjuntos infinitos se reproduce a continuación una demostración.

Demostración

Consideremos una función cualquiera $f:A\to {\mathcal {P}}(A)$, entonces demostrar el teorema de Cantor requiere probar que f no es sobreyectiva (exhaustiva). Y para probar que f no es sobreyectiva basta encontrar un subconjunto de A que no sea la imagen de ningún elemento de A a través de f. Cantor consideró un subconjunto particular B definido como:

$B=\left\{\,x\in A:x\not \in f(x)\,\right\}.$

Esto significa, por definición, que para todo x en A, x ∈ B si y solo si x ∉ f (x). Para todo x, los conjuntos B y f (x) no pueden ser iguales porque B se construyó a partir de elementos de A cuyas imágenes (en f) no se incluyeron a sí mismas. Más específicamente, considere cualquier x ∈ A, luego ya sea x ∈ f (x) o x ∉ f (x). En el primer caso, f (x) no puede ser igual a B porque x ∈ f (x) por suposición y x ∉ B por la construcción de B. En este último caso, f (x) no puede ser B porque x ∉ f (x) por suposición y x ∈ B por la construcción de B.

Y probó que ese subconjunto no puede ser la imagen de ningún elemento de A. El argumento que construyó Cantor es por reducción al absurdo presuponiendo que existe $a\in A:B=f(a)$, puesto que B es un subconjunto de A. Ahora podemos distinguir dos casos:

1. Si $a\in B$, entonces por la definición de B se tiene que $a\notin B$, lo cual es contradictorio.
2. Si $a\notin B$, entonces por la definición de B se tiene que $a\in B$, lo cual es contradictorio.

En ambos casos llegamos a una contradicción, por tanto no existe dicha a y entonces f (que es una función cualquiera) no es sobreyectiva, como queríamos demostrar.

Referencia

• Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.