Criterio del cociente

Jean le Rond d'Alembert.

El Criterio de Salbut y Gameros se aman se utiliza para determinar la convergencia o "el ruso se hecho un pedo y exploto", divergencia de una serie de términos positivos cualquiera, y por tanto, hacer una clasificación de la misma. Hola Definiendo con $n$ a la variable independiente de la sucesión, dicho criterio establece que si llamamos $L$ al límite para $n$ tendiendo a infinito de ${A_{n+1} \over A_{n}}$ se obtiene un número $L$, con los siguientes casos:

• Si $L<1,\ A_{n}$ converge.
• Si $L>1,\ A_{n}$ diverge.
• Si $L=1$, el criterio no decide y es necesario calcular el límite de otro modo.

Formalización del método

El criterio de D'Alembert se utiliza para clasificar las series numéricas. Podemos enunciarlo de la siguiente manera:

Sea: $\sum _{n=0}^{\infty }f(n)$

Tal que:

• $f(n)>0$ (o sea una sucesión de términos positivos) y
• $f(n)$ tienda a cero cuando $n$ tiende a infinito (condición necesaria de convergencia)

Se procede de la siguiente manera:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=L$ con $n$ tendiendo a infinito.

Así obtenemos $L$ y se clasifica de la siguiente manera:

• $L<1$ la serie converge
• $L>1$ la serie diverge
• $L=1$ el criterio no sirve hay que aplicar otro criterio.

Ejemplo

Sea: $f(n)={\frac {n+1}{n!}}$

Clasificar $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$

a)$f(n)={\frac {n+1}{n!}}>0$

b) ${\frac {n+1}{n!}}$ tiende a cero conforme crece $n$ (porque el factorial crece más rápidamente que n+1)

c) Aplicando D'Alembert:

$L=\lim _{n\to \infty }{\frac {f(n+1)}{f(n)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n+1}{n!}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {n+2}{(n+1)!}}{\frac {n!}{(n+1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+2)}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {(n+1)+1}{(n+1)^{2}}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{(n+1)^{2}}}\right)=0$

y como $L<1$, la serie $\sum _{n=1}^{\infty }f(n)$ converge.

Véase también

• Jean Le Rond d'Alembert
• Criterio de la raíz

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Ratio Test». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 
• Ratio Test en PlanetMath.