Vector de onda

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El vector de onda es un vector que apunta en la dirección de propagación de la onda en cuestión y cuya magnitud es el número de onda. Su expresión en matemática es:

\bold{k} = k\bold{u} = \frac{2\pi}{\lambda} \bold{u}

donde \vec{u} es la dirección de la propagación de la onda. De este modo, para una onda genérica tenemos que:

 \Phi(\bold{r},t) = \Phi(\bold{k} \cdot \bold{r} -\omega t) =
\Phi(k_xx+k_yy+k_zz - \omega t)

Aplicaciones[editar]

Transversalidad de las ondas electromagnéticas planas[editar]

El formalismo mediante el vector de onda permite ver rápidamente que las ondas electromagnéticas planas son trasversales, es decir, la oscilación del campo eléctrico y magnético es perpedincular a la dirección de propagación de la onda y perpendiculares entre sí.

Para demostrar esto consideremos, sin pérdida de generalidad, una onda electromagnética plana de la forma:

 \bold{E}(\bold{r},t) = \bold{E_0} e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r} -\omega t)}, 
\qquad \bold{B}(\bold{r},t) = \bold{B_0} e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r} -\omega t)}

Suponiendo una región del espacio sin densidad de carga \scriptstyle \rho = 0, la ley de Gauss para la divergencia del campo eléctrico nos lleva a que:

 \boldsymbol\nabla \cdot \bold{E} = i\bold{k}\cdot \bold{E_0} =
\frac{\rho}{\epsilon_0}=0

De donde obtenemos la perpendicularidad entre el campo eléctrico y la dirección de propagación:

(*) \bold{\hat{u}} \cdot \bold{E_0}= 0  \Rightarrow\bold{\hat{u}} \cdot \bold{E} = 0
\qquad\Rightarrow\qquad \bold{E}\ \bot\ \bold{\hat{u}}

Usando ahora la ley de Faraday para el rotacional del campo eléctrico tenemos:

(**) \boldsymbol\nabla \times \bold E = i\bold k \times \bold E
= -\frac{\part \bold B}{\part t}= i\omega\bold B

De (**), por las propiedades del producto vectorial, se deduce:

 \bold{\hat u}\ \bot\ \bold B

Por tanto de las expresiones (*) y (**) puede concluirse que el campo eléctrico es perpendicular al vector de onda, y por tanto a la dirección de propagación, y que el campo magnético es perpendicular tanto a la dirección de propagación como al campo eléctrico, formando los vectores \scriptstyle \{\bold k, \bold E, \bold B\} forman un triedro que en cada punto del espacio constituye una base vectorial.