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Potenciación y Radicación en $\mathbb {R}$

Potenciación

Para un número real $a\,$ y un número entero positivo $n\,$ se define la potencia $\,n$--ésima de $a\,$ al número que se obtiene al multiplicar $n\,$ veces el factor $a\,$. Es decir:

$a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n{\text{ veces }}}=p$

Donde:
${\begin{array}{ll}a&\Rightarrow {\mbox{es la base}}\\n&\Rightarrow {\mbox{es el exponente}}\\a^{n}{\mbox{ o }}p&\Rightarrow {\mbox{es la potencia}}\end{array}}$

Definición

Si $n\in \mathbb {N} {\text{ y }}b\in \mathbb {R}$, entonces $\,b^{n}$, llamada $\,n$--ésima potencia de $b\,$, representa el producto de $n\,$ factores iguales a $b\,$ esto es:

$b^{n}=b\cdot b\cdot b\cdot \ldots \cdot b$

En donde, el exponente $n\,$ indica las veces que se debe repetir la base $b\,$ como factor.

Radicación

La raíz $n\,$--ésima de $a\,$, que se denota por ${\sqrt[{n}]{a}}$ es el número $r\,$ tal que $r^{n}=a\,$. Es decir:

${\sqrt[{n}]{a}}=r\Longrightarrow r^{n}=a$

Donde:

${\begin{array}{ll}{\sqrt {\mbox{ }}}\qquad &{\text{es el operador radical}}\\n\qquad &{\mbox{es el índice del radical}}\\a\qquad &{\mbox{es la cantidad subradical o radicando}}\\r\qquad &{\mbox{es la raíz}}\end{array}}$

Definición

Si $c,\;x\in \mathbb {R} ,\;n\in \mathbb {N}$, entonces $x\,$ se llama raíz $n\,$--ésima principal de $x\,$, se denota $x={\sqrt[{n}]{c}}$, si y sólo si $x^{n}=c\,$, bajo la condición de que si $n\,$ es par, entonces $x>0{\text{ y }}c>0\,$. Formalmente:

$x={\sqrt[{n}]{c}}\Longleftrightarrow x^{n}=c,\;n{\text{ par }}\Longrightarrow \;c>0,\;x>0$

Propiedades de Potenciación y Radicación

1. $b^{m}\cdot b^{n}\cdot b^{p}=b^{m+n+p}$
   
2. ${\dfrac {b^{m}}{b^{n}}}=b^{m-n}$
   
3. $b^{0}=1\quad ;\quad b\neq 0$
   
4. $a^{-n}={\dfrac {1}{a^{n}}}$
   
5. $\left({\dfrac {a}{b}}\right)^{-n}=\left({\dfrac {b}{a}}\right)^{n}$
6. $a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$
7. ${\dfrac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\dfrac {a}{b}}\right)^{n}$
8. $(b^{n})^{m}=b=^{m\cdot n}$
9. ${(b)^{m \over n}={\sqrt[{n}]{b}}^{m}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}}$
10. ${\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$
11. ${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$
12. ${\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{A}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{A}}$
13. $a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}$
14. $a^{x-y}={\dfrac {a^{x}}{a^{y}}}$
15. $({\sqrt[{n}]{a}})^{p}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}$
16. ${\sqrt[{x}]{a^{y}}}=a^{\frac {y}{x}}$
17. ${{\sqrt[{x}]{a^{n}\cdot {\sqrt[{y}]{b^{m}}}}}=a^{n \over x}\cdot b^{m \over xy}}$
18. ${{\sqrt[{n}]{x}}\cdot {\sqrt[{n}]{y}}\cdot {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x\cdot y\cdot z}}}$
19. ${{\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}={\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}}$
20. ${{\sqrt[{-n}]{x^{a}}}={\sqrt[{n}]{x^{-a}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x^{a}}}}}$
21. ${{\sqrt[{m/n}]{x^{a}}}=x^{na \over m}}$
22. ${{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {a}}={\sqrt {a}}^{2}=a}$
23. ${{\sqrt[{n}]{a^{m}}}={\sqrt[{nx}]{a^{mx}}}}$
24. ${(-a)^{2n}=a^{2n}}\,$
25. ${(-a)^{2n-1}=-a^{2n-1}}\,$
26. ${{\sqrt[{m}]{x}}\cdot {\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{mn}]{x^{m+n}}}}$
27. ${{\sqrt[{1/n}]{x^{a}}}=x^{na}}$
28. ${\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{-x}}$
29. ${a^{x+y-z}={\dfrac {a^{x}\cdot a^{y}}{a^{z}}}}\,$
30. $0^{0}={\mbox{ indeterminado }}\,$