Para un número real
y un número entero positivo
se define la potencia
--ésima de
al número que se obtiene al multiplicar
veces el factor
. Es decir:
Donde:
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}a&\Rightarrow {\mbox{es la base}}\\n&\Rightarrow {\mbox{es el exponente}}\\a^{n}{\mbox{ o }}p&\Rightarrow {\mbox{es la potencia}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5b1b03db4c7404247163dff76acb0f600b475b4)
Si
, entonces
, llamada
--ésima potencia de
, representa el producto de
factores iguales a
esto es:
En donde, el exponente
indica las veces que se debe repetir la base
como factor.
La raíz
--ésima de
, que se denota por
es el número
tal que
. Es decir:
Donde:
![{\displaystyle {\begin{array}{ll}{\sqrt {\mbox{ }}}\qquad &{\text{es el operador radical}}\\n\qquad &{\mbox{es el índice del radical}}\\a\qquad &{\mbox{es la cantidad subradical o radicando}}\\r\qquad &{\mbox{es la raíz}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c33f936d8bc338977b4e03217f7c3db70ebc88d)
Si
, entonces
se llama raíz
--ésima principal de
, se denota
, si y sólo si
, bajo la condición de que si
es par, entonces
. Formalmente:
Propiedades de Potenciación y Radicación
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![{\displaystyle b^{m}\cdot b^{n}\cdot b^{p}=b^{m+n+p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2524403f175f9994d73fbf5a4b1f3b24f54784d2)
![{\displaystyle {\dfrac {b^{m}}{b^{n}}}=b^{m-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1fee5d90e473e2e4e8b036d194fc9a2856f55f3d)
![{\displaystyle b^{0}=1\quad ;\quad b\neq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7816c96215472c72ad3646256f2b71362c2f4510)
![{\displaystyle a^{-n}={\dfrac {1}{a^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c61089d7cb750d607dd6e6f3cd89e35a1a8f0f23)
![{\displaystyle \left({\dfrac {a}{b}}\right)^{-n}=\left({\dfrac {b}{a}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e110f29bcb9ce7d001d03e84c1ec3cd5ebb87784)
![{\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c2f28874ba887580500487f9db0fdce20cfc5bb)
![{\displaystyle {\dfrac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\dfrac {a}{b}}\right)^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/29fad9455309a825f40d5fe4ebe7fcd5807f3b9f)
![{\displaystyle (b^{n})^{m}=b=^{m\cdot n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b872bb560358926a557afcfa772c4226c20bc60e)
![{\displaystyle {(b)^{m \over n}={\sqrt[{n}]{b}}^{m}={\sqrt[{n}]{b^{m}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a44c236ff8c2b2f8130aa37827c69aa81c0d630)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\cdot b}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ecfa1618d56f60c6ce1ad62d984d02b33967c02)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/372ddb7d13541806e35a6053ba614df98a87b655)
![{\displaystyle {\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{A}}}={\sqrt[{m\cdot n}]{A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f604165b7f1984da4f3fa737c2d2c9183686d4)
![{\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5210e098a132f078c551695b9ba04efdf8e349a9)
![{\displaystyle a^{x-y}={\dfrac {a^{x}}{a^{y}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e915b1da35208cc0332460c5684c75eede05a51)
![{\displaystyle ({\sqrt[{n}]{a}})^{p}={\sqrt[{n}]{a^{p}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af2665de0800392e328eaf4eb0f9c96832a51cb2)
![{\displaystyle {\sqrt[{x}]{a^{y}}}=a^{\frac {y}{x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c79e0557f8c950f357ef5a54fe8efc206e4904ab)
![{\displaystyle {{\sqrt[{x}]{a^{n}\cdot {\sqrt[{y}]{b^{m}}}}}=a^{n \over x}\cdot b^{m \over xy}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355baab1549ebf2eead43eb542ebe2d8e5282930)
![{\displaystyle {{\sqrt[{n}]{x}}\cdot {\sqrt[{n}]{y}}\cdot {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x\cdot y\cdot z}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e13b053f366760930e16f58bfade3a85fc3f9f48)
![{\displaystyle {{\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}={\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08baae9e030a535fb2d1c2e43afb12ada02e7ac3)
![{\displaystyle {{\sqrt[{-n}]{x^{a}}}={\sqrt[{n}]{x^{-a}}}={\frac {1}{\sqrt[{n}]{x^{a}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85657dd792b0b2ac25328a2250ec85555d215a69)
![{\displaystyle {{\sqrt[{m/n}]{x^{a}}}=x^{na \over m}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2400cd95829e871770e02071fd5a030a4ec90dc0)
![{\displaystyle {{\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {a}}={\sqrt {a}}^{2}=a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab787e4b77900133210e814ac4caa3630ad27d80)
![{\displaystyle {{\sqrt[{n}]{a^{m}}}={\sqrt[{nx}]{a^{mx}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cfeea2cf53babe944b7a9d5a4619a7c208f889d)
![{\displaystyle {(-a)^{2n}=a^{2n}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20a25c49ada0d7b0514bfc7367a8d8db8a1ebe16)
![{\displaystyle {(-a)^{2n-1}=-a^{2n-1}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c72534929ca987e368fa70e5611ae62d34d446f)
![{\displaystyle {{\sqrt[{m}]{x}}\cdot {\sqrt[{n}]{x}}={\sqrt[{mn}]{x^{m+n}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44dc4ebdd5afdbd27e2de992b6a3883bc2c0f334)
![{\displaystyle {{\sqrt[{1/n}]{x^{a}}}=x^{na}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f7133f12f04544acad0c6ecd48dc091d03e10b0)
![{\displaystyle {\left({\frac {a}{b}}\right)^{x}=\left({\frac {b}{a}}\right)^{-x}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a4b0c5fb89938e7d08c82c9db894b3154d82d07)
![{\displaystyle {a^{x+y-z}={\dfrac {a^{x}\cdot a^{y}}{a^{z}}}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e43d4b9b3298486f533a140ba7d66c1c3e325d01)
![{\displaystyle 0^{0}={\mbox{ indeterminado }}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f5944f126764db3c9b2e668b24798cfa01f479d)