Usuario discusión:Juan Marquez/Analisis matemático

Aquí pongamos las preguntas y propuestas para luego asentar en la correspondiente sección ¿ok?

Continuación del la discusión "R^n y vacío son los únicos conjuntos abiertos y cerrados a la vez"

Me parece que Alonso tiene razón, no nos vamos a poder escapar de usar el concepto de conexidad.

Porque supongamos que se pudiera armar una demostración sin usar para nada conexidad. Pues eso implicaría que nuestra demostración es válida para cualquier espacio métrico, pero de antemano sabemos que esa propoción no la cumplen los espacios que no son conexos. De esta manera tendríamos una contradicción. Esto necesariamente implica que no puede existir una demostración de nuestro hecho que no use conexidad explicita ni implicitamente.

JOS.

1. de acuerdo con lo de usar conexidad, pero creo que podemos recorrer las ideas centrales para el objetivo, pensando de forma que no usemos resultados con fe, es decir aquí urge saber como se demuestra que $\mathbb {R} ^{n}$ es conexo.

2. Por otro lado, no comentaste acerca de la proposición allá en Abiertos y conexidad

--kid (discusión) 18:52 4 jul 2008 (UTC)

Es cierto no había visto esa proposición en abiertos y continuidad. Sin embargo creo que hace falta justificar la afirmación de que si un conjunto no tiene frontera entonces toda bola con centro en un punto del conjunto queda dentro del mismo conjunto. Lo cual, parece ser que va a necesitar invocar conexidad de alguna forma. Otra cosa es que A también podría ser el conjunto vacío. --Jesus--

propuesta de plan de trabajo

1. concentremonos en demostrar que $\mathbb {R} ^{n}$ es conexo
2. después de otros espacios métricos hablamos

--kid (discusión) 18:52 4 jul 2008 (UTC)

Pequeña aportación.

Entiendo que quieren probar que Rn y el vacío son los únicos abiertos y cerrados de Rn (imagino que bajo la topología estándar).

Si es así, yo les puedo proporcionar un bosquejo de prueba. Cabe recordar también que "como conjunto" Rn puede tener diferentes topologías, y en otras topologías pueden haber otros subconjuntos que sí sean simultáneamente abiertos y cerrados. -- m:drini 18:57 4 jul 2008 (UTC)

Estimado drini, adelante, por favor ilustranos como demostrar que R^n solo tiene dos clopens (los triviales) con la topología usual. ¿Sucede lo mismo con otra topologías de R^n? --kid (discusión) 01:16 5 jul 2008 (UTC)

por otro lado

quite la demostración allá en Abiertos y conexidad por que estaba mal. Al rato la compongo mejor... --kid (discusión) 01:16 5 jul 2008 (UTC)

Demostración de la conexidad de Rn

Comenzaremos por demostrarque ℝ con su topología usual es conexo. Primeramente hay que recordar que ℝ es un conjunto convexo (ojo, dije convexo, no conexo). Que sea convexo significa que para cualquier par de puntos a,b∈ℝ el segmento [a,b] está contenido en ℝ. Ahora sí podemos iniciar con la demostración, la cual adapté del libro de Topología de Munkres:

Demostración.

Supongamos que ℝ no es conexo. Entonces existen un par de conjutos no triviales, abiertos y disjuntos A,B cuya unión es ℝ. Elijamos a∈A y b∈B suponiendo que a < b. Como ℝ es convexo, el intervalo [a,b] está totalmente contenido en ℝ. Entonces, el intervalo [a,b] es igual a la unión de los conjuntos disjuntos A0 = A ∩ [a,b] y B0 = B ∩ [a,b]. Ambos conjuntos son abiertos relativos en [a,b]. Sea c = sup(A0). Observemos que claramente c∈[a,b]. Ahora se demostrará que c no pertenece ni a A0 ni a B0, lo cual contradice el hecho de que [a,b] es la unión de dichos conjuntos.

Primero supongamos que c∈B0. Entonces c≠a, así que o c = b o a < c < b. Debido a que B0 es abierto relativo, existe un intervalo de la forma (d,c] ("media" bola abierta) totalmente contenido en B0. Si c = b se llega a una contradicción porque d es una cota superior de A0 más pequeña que c. Si c < b, el conjunto (c,b] no intercepta a A0 (porque c es una cota superior de A0), y entonces el conjutno (d,b] = (d,c] ∪ (c,b] no intercepta a A0. De nuevo hay una contradicción porque d es una cotra superior de A0 menor que c.

Ahora supongamos que c∈A0. Entonces c≠b, así que o c = a o a < c < b. Debido a que A0 es abierto relativo, existe un intervalo de la forma [c,e) que esté contenido en A0. Utilizando las propiedades de la recta real, podemos encontrar un punto x∈ℝ tal que c < x < e. Entonces x∈A0, lo cual contradice el hecho de que c es una cota superior de A0.

□

Sólo queda demostrar que el producto finito de espacios conexos es conexo. Haremos la prueba para el producto ℝ×ℝ, ya que por inducción puede fácilmente generalizarse a ℝⁿ. Pero antes hay que demostrar el siguiente lema:

Lema. La unión de espacios conexos que comparten un punto es conexa.

Demostración Lema

Sean A y B espacios conexos y p∈A∩B. Supongamos que A∪B no es conexo. Sean C y D un par de conjuntos no triviales abiertos y disjuntos cuya unión es A∪B. El punto p o está en C o está en D. Supongamos que p∈C. Como A es conexo, debe estar completamente contenido en alguno de los dos conjutnos C o D. Sin embargo, como p∈A, entonces A está contenido en C. De la misma forma, B está contenido en C, lo cual contradice el hecho de que D es no vacío. □

Usando el mismo argumento, la demostración anterior puede generalizarse a la unión de cualquier colección de espacios conexos que compartan un punto.

Demostración ℝ² es conexo

Sea (a,b)∈ℝ² fijo. Observemos que los conjuntos (a,ℝ) = {(a,x):x∈ℝ} y (ℝ,b) = {(x,b):x∈ℝ} son ambos homeomorfos (iguales topológicamente) a ℝ, y por lo tanto son conexos. Así cada conjutno Ty = (ℝ,b)∪(y,ℝ) es conexo ya que consiste en la unión de dos conjuntos conexos que comparten un punto. Ahora, ∪Ty (donde la variable y es la que varía) es la unión de espacios conexos que comparten al punto (a,b), por lo que también es conexa. Finalmente, notemos que ∪Ty es igual a ℝ², por lo que se concluye que ℝ² es conexo. □

Para entender mejor esta última demostración les recomiendo hacer un dibujo de la situación; es decir, dibujar los conjuntos (a,ℝ), (ℝ,b) y los Ty. --Usuario:Alonso Castillo Ramírez