Usuario discusión:Jorge Gómez Tejeda Zañudo

Segundo Parcial de Teoría de Probabilidad 06A

1.- Si la función de distribución conjunta de X y Y está dada por:

$F(x,y)={\begin{cases}\left(1-e^{-2x}\right)\left(1-e^{-3y}\right)&0<x<\infty ,0<y<\infty \\0&{\mbox{otro caso}}\end{cases}}$

Determina:

a) La densidad conjunta de X y Y.

Como se nos da F(x,y), es decir la distribución acumulada, de manera para obtenerla debimos integrar con respecto de x y y, así que para obtenerla, debemos derivar parcialmente con respecto de x y y:

$f(x,y)$ = $\partial ^{2}\left[\left(1-e^{-2x}\right)\left(1-e^{-3y}\right)\right] \over \partial x\partial y$ = $\partial \left[\left(2e^{-2x}\right)\left(1-e^{-3y}\right)\right] \over \partial y$$=\left(2e^{-2x}\right)\left(3e^{-3y}\right)=6e^{-2x-3y}$

Es decir:

$f(x,y)={\begin{cases}6e^{-2x-3y}&0<x<\infty ,0<y<\infty \\0&{\mbox{otro caso}}\end{cases}}$

b) $\operatorname {P} (X<{\frac {1}{3}},Y>1)=\operatorname {P} (0<X<{\frac {1}{3}},1<Y<\infty )=\int _{0}^{\frac {1}{3}}\int _{1}^{\infty }6e^{-2x-3y}\,\operatorname {d} x\,\operatorname {d} y=6\int _{0}^{\frac {1}{3}}e^{-2x}\int _{1}^{\infty }e^{-3y}\,\operatorname {d} x\,\operatorname {d} y$ $6\int _{0}^{\frac {1}{3}}e^{-2x}\left[-{\frac {1}{3}}\,e^{-3y}\right]{\Bigg |}_{1}^{\infty }\operatorname {d} y=6\int _{0}^{\frac {1}{3}}e^{-2x}\left[{\frac {1}{3}}\,e^{-3}\right]\operatorname {d} y=6\left({\frac {1}{3}}\,e^{-3}\right)\int _{0}^{\frac {1}{3}}e^{-2x}\operatorname {d} y=2e^{-3}\left[-{\frac {1}{2}}e^{-2x}\right]{\Bigg |}_{0}^{\frac {1}{3}}$

$=2e^{-3}\left(-{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {2}{3}}}+{\frac {1}{2}}\right)=e^{-{\frac {11}{3}}}+e^{-3}\approx 0.0242$

c) $\operatorname {h} (y)=\int _{0}^{\infty }6e^{-2x-3y}\,\operatorname {d} x=6e^{-3y}\int _{0}^{\infty }e^{-2x}\,\operatorname {d} x=6e^{-3y}\left[-{\frac {1}{2}}e^{-2x}\right]{\Bigg |}_{0}^{\infty }=6e^{-3y}\left({\frac {1}{2}}\right)=3e^{-3y}$

d) $\operatorname {M_{y}} (t)=\operatorname {E} \left[e^{xt}\right]=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{xt}6e^{-2x-3y}\,\operatorname {d} x\,\operatorname {d} y=6\int _{0}^{\infty }e^{-3y}\int _{0}^{\infty }e^{(t-2)x}\,\operatorname {d} x\,\operatorname {d} y$

$=6\int _{0}^{\infty }e^{-3y}\left[{\frac {e^{(t-2)x}}{t-2}}\right]{\Bigg |}_{0}^{\infty }\,\operatorname {d} y=6\int _{0}^{\infty }e^{-3y}\left(-{\frac {1}{t-2}}\right)\,\operatorname {d} y=-{\frac {6}{t-2}}\int _{0}^{\infty }e^{-3y}\,\operatorname {d} y=-{\frac {6}{t-2}}\left[-{\frac {1}{3}}e^{-3y}\right]{\Bigg |}_{0}^{\infty }$

$=-{\frac {6}{t-2}}\left({\frac {1}{3}}\right)=-{\frac {2}{t-2}}$

Válido para t<2 , ya que nótese que si no fuera así, no se podría evaluar el límite de la primera integral en infinito.