Geodesikak erlatibitate orokorrean[editar]

Erlatibitate orokorrean, geodesika batek adierazten duena "lerro zuzena" kontzeptua da, baina espazio-denbora kurbatu batean. Adibidez, kanpoko indar ez grabitazionalen eraginik jasaten ez duen partikula baten mundu lerroa geodesika mota bat da. Beste era batean esanda, partikula aske bat edo erorketa askean dagoen partikula bat geodesika batean zehar higituko da.

Erlatibitate orokorrean, grabitatea ez da indar bat bezala definitzen, baizik eta espazio-denbora kurbatuaren geometriaren ondorio bat bezala, non kurbatura honen iturria energia-momentu tentsorea den (tentsorea materiaren adierazpena delarik). Honela, adibidez, izar baten inguruan orbitatzen ari den ibilbidea izarraren inguruan sortzen den lau dimentsioko (4-D) espazio-denbora kurbaturaren geometriaren geodesikoaren proiekzioa izango da hiru dimentsioko (3-D) espazioan.

Adierazpen matematikoa[editar]

Geodesikaren ekuazio osoa

${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0\$

da, non s higiduraren parametro eskalarra den ( adib. denbora propioa), eta $\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }$ Christoffel-en ikurrak ( batzutan Levi-Civita konexioaren koefizienteak edo konexio afinaren koefizienteak deituak) diren, beheko bi indizeetan simetrikoak direlarik. Indize grekoek hurrengo balioak har ditzateke: 0, 1, 2, 3 eta Einstein-en notazioa erabiltzen da $\alpha$ eta $\beta$ -ren balio errepikatuentzat. Ekuazio honen ezkerreko adierazpenak partikularen azelerazioari dagokio; beraz, ekuazio hau Newtonen higidura legeen parekoa da, izan ere Newtonen higidura ekuazioak partikula baten azelerazioaren formula ematen baitu. Geodesikaren ekuazioak Einstein-en notazioa darabil, hau da, indize errepikatuak batu egiten dira (adib. zerotik hirura). Christoffel-en ikurrak, bestetik, espazio-denborako lau koordenatuen funtzioak dira, eta beraz, geodesikaren ekuazioak deskribatzen duen higidurari dagokion proba partikularen azelerazioarekiko, abiadurarekiko edo beste edozein ezaugarriekiko independenteak izango dira.

Denboraren koordenatua parametro bezala erabiliz baliokidea den adierazpen matematikoa[editar]

Orain arte aztertu den geodesikaren higidura ekuazioa s parametro eskalarraren arabera adierazi da. Halaber, denboraren koordenatuaren arabera idatz daiteke ere bai, $t\equiv x^{0}$ hain zuzen ere (barra hirukoitza erabili da definizio bati dagokiola zehazteko). Beraz, geodesikaren higidura ekuazioa hurrengo moduan geldituko da:

${d^{2}x^{\mu } \over dt^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}+\Gamma ^{0}{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\beta } \over dt}{dx^{\mu } \over dt}\ .$

Formulazio hau erabilgarria izan daiteke ordenagailu bidezko kalkuluak egiteko eta baita Erlatibitate Orokorra Newtonen Grabitazioarekin konparatzeko ere^[1].

Berehalakoa da aurreko adierazpena lortzea, denbora propioa parametro moduan erabiltzen duen geodesikaren ekuaziotik abiatuz katearen erregela erabiltzen bada. Ohartu azkeneko ekuazioaren bi aldeak joan egiten direla μ indizea zero egiten bada. Bestalde, partikularen abiadura txikia bada, geodesikoaren ekuazioa hurrengo adierazpenera murriztuko da:

${d^{2}x^{n} \over dt^{2}}=-\Gamma ^{n}{}_{00}.$

Ekuazio honetan n indizeak [1,2,3] balioak hartzen ditu. Ekuazio honek proba partikula guztiek leku eta denbora jakin batean azelerazio bera izango dutela adierazten du, Newtonen grabitatearen ezaugarri ezagunenetako bat hain zuzen ere. Adibidez, ISS-aren inguruan flotatzen ari den edozer gauza geltoki honen azelerazio bera izango du, grabitatearen eraginez.

Baliokidetasun printzipiotik zuzeneko ondorioztapena[editar]

Steven Weinberg fisikariak baliokidetasun printzipiotik zuzenean lortutako geodesikoaren higidura ekuazioaren deribazioa aurkeztu du^[2]. Emaitza horretara iristeko eman beharreko lehenengo urratsa hurrengoa da: suposatu behar da erorketa askean dagoen partikula batek ez duela inguruko gertaera punturik azeleratzen, aske erortzen ari den koordenatu sistemarekiko ( $X^{\mu }$ ). $T\equiv X^{0}$ finkatuz, erorketa askean lokalki aplikatu daitekeen hurrengo ekuazioa lortuko da:

${d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}=0$

Hurrengo urratsa dimentsio anitzetarako katearen erregela aplikatzea izango da:

${dX^{\mu } \over dT}={dx^{\nu } \over dT}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}$

Adierazpen hau berriro ere denborarekiko deribatuz:

${d^{2}X^{\mu } \over dT^{2}}={d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}+{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}$

Beraz,

${d^{2}x^{\nu } \over dT^{2}}{\partial X^{\mu } \over \partial x^{\nu }}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}$

Ekuazioko bi aldeak azpian adierazten den kantitateagatik biderkatuz gero,

${\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}$ ,

bukaerako adierazpen hau lortzen da:

${d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]$

Kontuan hartuz Christoffel-en ikurrak desagertu egiten direla eta hurrengo adierazpena erabiliz,

$\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \alpha }=\left[{\partial ^{2}X^{\mu } \over \partial x^{\nu }\partial x^{\alpha }}{\partial x^{\lambda } \over \partial X^{\mu }}\right]$

lortzen den ekuazioa

${d^{2}x^{\lambda } \over dT^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dT}{dx^{\alpha } \over dT}$

da. Behin katearen erregela aplikatuz:

${d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}\left({\frac {dt}{dT}}\right)^{2}$

${d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}+{dx^{\lambda } \over dt}{\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}$

Hasieran bezala, $t\equiv x^{0}$ definitu daiteke. Ondoren, $x^{0}$ -ren lehenengo deribatua t parametroarekiko 1 izango da, eta bigarren deribatua, ondorioz, 0. Orduan, λ zero balioagatik ordezkatuz:

${\frac {d^{2}t}{dT^{2}}}\left({\frac {dT}{dt}}\right)^{2}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}$

Azkenik, geodesikoaren higidura ekuaziora iristeko falta den azken urratsa $dx^{\lambda } \over dt$ aurreko ekuazioan biderkatzea izango da, azken adierazpen hau lortuz:

${d^{2}x^{\lambda } \over dt^{2}}=-\Gamma _{\nu \alpha }^{\lambda }{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}+\Gamma _{\nu \alpha }^{0}{dx^{\nu } \over dt}{dx^{\alpha } \over dt}{dx^{\lambda } \over dt}$

Ekuazio hau, hain zuzen ere, geodesikoaren higidura ekuazioaren adierazpenetako bat da (denbora koordenatua parametro bezala erabiliz).

Halaber, geodesikoaren higidura ekuazioa garraio paraleloaren^[3] kontzeptua aplikatuz lor daiteke.

Geodesikoaren ekuazioaren ondorioztapena akzio printzipioa erabiliz[editar]

Geodesikoaren hidigudura ekuaziora iristeko ohikoa den teknika akzio printzipioa erabiltzea da. Azter bedi aldibereko bi gertaera desberdinen geodesikoak.

Akzioaren adierazpena, S, hurrengoa izango da:

$S=\int ds$ ,

non $ds={\sqrt {-g_{\mu \nu }(x)\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}}$ desplazamendu infinitesimalaren bektorea den. Kurba denbora-motakoa denez, erroaren barnean ikur negatiboa jarri behar da, balio erreala lortu ahal izateko. S-ren adierazpenetik geodesikoaren ekuazioa lortzeko, akzioa $\lambda$ -rekiko parametrizatuko da:

$S=\int {\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\,d\lambda$

Ondoren, akzio minimoaren printzipioa aplikatuz eta akzioa $x^{\mu }$ kurbarekiko diferentzialki aldatuz:

$0=\delta S=\int \delta \left({\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}\right)\,d\lambda =\int {\frac {\delta \left(-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}\right)}{2{\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}}}d\lambda$

Produktuaren erregela erabiliz:

$0=\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\delta g_{\mu \nu }+g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}+g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}{\frac {d\delta x^{\nu }}{d\lambda }}\right)\,d\lambda =\int \left({\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }\delta x^{\alpha }+2g_{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\right)\,d\lambda$

non ${\frac {d\tau }{d\lambda }}={\sqrt {-g_{\mu \nu }{\frac {dx^{\mu }}{d\lambda }}{\frac {dx^{\nu }}{d\lambda }}}}$ den.

Aurreko ekuazioa pixkat sinplifikatuz eta $-{\frac {1}{2}}$ faktoreagatik biderkatzen bada, gelditzen den ekuazioa hurrengoa da:

$0=\int \left(g_{\mu \nu }{\frac {d^{2}x^{\nu }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)\right)\delta x^{\mu }\,d\tau$

Azkenik, Hamiltonen printzipioa erabiliz, Euler-Lagrangeren ekuazioa lortuko da, eta hau $g_{\mu \nu }$ tentsore metrikoagatik biderkatuz:

${\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+{\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right){\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0$

Ekuazio hau aztertuz, ikus daiteke geodesikoaren ekuazioaren antzekoa dela; eta hain zuzen ere geodesikoaren ekuazioa da, baina kasu honetan Christoffel-en ikurra tentsore metrikoaren arabera agertzen da inplizituki, izan ere:

$\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }={\frac {1}{2}}g^{\mu \beta }\left(\partial _{\alpha }g_{\mu \nu }+\partial _{\nu }g_{\mu \alpha }-\partial _{\mu }g_{\alpha \nu }\right)$

Eta beraz, bukaeran gelditzen zaigun ekuazioa,

${\frac {d^{2}x^{\beta }}{d\tau ^{2}}}+\Gamma ^{\beta }{}_{\alpha \nu }{\frac {dx^{\alpha }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}=0$ ,

geodesikoaren ekuazioa da hain zuzen ere.

(Oharra: Kasu honetan denbora motako gertaerak erabili dira, baina emaitza berdintsua lortuko da espazio-motakoak edo argi-motakoak erabiliz gero.)

Espazio hutsarentzat eremu ekuazioek jarraitu dezaketen higidura ekuazioa[editar]

Albert Einstein fisikiariak uste zuen geodesikoaren higidura ekuazioa espazio hutsa deskribatzen duten eremu-ekuazioetatik lor zitekeela. Adibidez, Ricci-ren kurbadura desagertzen delaren inguruan hurrengo baieztapena idatzi zuen^[4]:

Frogatu da higiduraren legea — hautazko masa grabitatorio handien kasura orokortuta— espazio hutsa deskribatzen duten eremu-ekuazioetatik lor daitekeela. Ondorioztapen honen arabera, higiduraren legea beteko da, eremua, eremu bera sortzen duen masaren inguruko edozein puntutan, bakarra bada.

eta^[5]

Grabitazioaren erlatibitate teoria originalak zuen inperfekzioetako bat eremu teoria osatu gabe egotea zen; honek, geodesikaren higidura ekuazioaren bidez partikula batek jarraitzen duen higiduraren legea zehazten zuen postulatua aurkeztea ahalbidetu zuen.
Eremu teoria osatu batek ez ditu partikula eta higidura kontzeptuak ezagutzen, baizik eta eremu kontzeptua soilik. Horregatik, bi kontzeptu hauek ez dira eremutik deberdindu behar, baizik eta eremuaren parte bezala kontsideratu behar dira.
Singularitaterik gabeko partikula baten deskribapenean oinarrituz, batek logikoki zuzenagoa den problemaren konbinazio bat zehaztu dezake: Eremuaren eta higiduraren problema bat etortzea.

Bai fisikiariek eta baita filosofoek ere behin baino gehiagotan planteatu dute geodesikoaren ekuazioa singularitate grabitazionalaren higidura deskribatzen duen higiduraren eremu ekuazioetatik lor daitekeela, baina oraindik baieztapen hau eztabaidagarria da^[6]. Bestalde, eztabaida gutxiago sortzen du eremu ekuazioek fluido edo hautsaren higidura ekuazioa definitzen dutelaren baieztapena, singularitate-puntuaren hididuratik bereizten direlarik^[7].

Partikula kargatuaren kasua[editar]

Geodesiken ekuazioa baliokidetasun printzipiotik ondorioztatzean suposatu dugu partikulek sistema inertzial lokal batean azeleraziorik ez dutela. Errealitatean, aldiz, gerta daiteke partikulek karga izatea eta ondorioz, azelerazio lokal bat jasatea Lorentz-en indarraren bitartez. Hori da:

${d^{2}X^{\mu } \over ds^{2}}={q \over m}{F^{\mu \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{\eta _{\alpha \beta }}.$

eta

${\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.$

Minkowski-ren tentsorea ${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }}$ ondokoa izanik:

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

Azken hiru ekuazio hauek abiapuntutzat har daitezke erlatibitate orokorreko higidura-ekuazio bat lortzeko, erorketa askean azelerazioa nulua dela suposatu beharrean. Minkowski-ren tentsorea erabili dugunez, beharrezkoa da tentsore metriko izeneko objektua aurkeztea erlatibitate orokorrean. g tentsore metrikoa simetrikoa da, eta lokalki Minkowski-ren tentsore bilakatzen da erorketa askean. Era honetan lortutako higidura-ekuazioa ondokoa da:

${d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}\ +{q \over m}{F^{\mu \beta }}{dx^{\alpha } \over ds}{g_{\alpha \beta }}.$

eta

${\eta _{\alpha \beta }}{dX^{\alpha } \over ds}{dX^{\beta } \over ds}=-1.$

Azken ekuazioaren esanahia da partikula denbora-motako geodesikan zehar mugitzen dela; masagabeko partikulek, fotoiak esaterako, argi-motako geodesikoak jarraitzen dituzte (azken ekuazioaren eskumaldeko -1 zenbakia zero batez ordezkatu beharko genuke). Garrantzitsua da azken bi ekuazioak bateragarriak direla ikustea. Haietariko azkena denbora-propioarekiko deribatuz eta Christoffel-en ikurrekin lotutako ondorengo formula erabiliz, bateragarritasuna bermatzen da:

$\Gamma ^{\lambda }{}_{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}g^{\lambda \tau }\left({\frac {\partial g_{\tau \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial g_{\tau \beta }}{\partial x^{\alpha }}}-{\frac {\partial g_{\alpha \beta }}{\partial x^{\tau }}}\right)$

Ekuazio honek ez du eremu elektromagnetikoen inolako menpekotasunik eta erabilgarria da eremu horiek desagertzen diren limitean. Goiindizeak dituen g letra tentsore metrikoaren alderantzizkoa da. Erlatibitate orokorrean, tentsoreen indizeak igo eta jaitsi daitezke kontrakzioak erabiliz.

Geodesikak espazio-denbora tarte geldikortzat[editar]

Bi gertaeren arteko geodesika bi gertaera horiek lotzen dituen espazio-denbora tarte (4 dimentsioko espazioko "luzera") geldikorreko kurba bat bezala deskribatu daiteke. Kasu honetan, geldikorra izateak esan nahi du espazio-denbora tarteak aldaketa minimoa duela kurban zehar geodesikotik hurbil dauden kurba guztien artetik.

Minkowski-ren espazioan geodesika bakarra dago bi edozein gertaera lotzen dituena, eta denbora-motako geodesika bada, kurba honek bi gertaeren arteko denbora propio maximoa izango du. Espazio-denbora kurbatuan, posible da nahiko aldenduak diren bi gertaerentzat denbora-motako geodesika bat baino gehiago izatea. Halakoetan, geodesika ezberdinetan zeharreko denbora-propioek ez dute zertan berdinak izan. Gainera, espazio kurbatuetan gerta daiteke geodesikaren hurbileko kurba batek denbora-propio luzeago edo laburragoa izatea.

Espazio-motako geodesikentzat beti daude haiengandik hurbil denbora-propio luzeagoa edo laburragoa duten kurbak, baita Minkowski-ren espazioan ere. Minkowski-ren espazioan, geodesika lerro zuzena izango da. Geodesikarekiko espazialki ezberdina den edozein kurba, hau da, denboraren koordenatu berdina duena, geodesikak baino luzera-propio luzeagoa izango du. Denboralki ezberdina den batek, aldiz, luzera-propio laburragoa izango du.

Kurba baten espazio-denborako tartea da,

$l=\int {\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\,ds\ .$

Bestalde, Euler-Lagrange ekuazioa,

${d \over ds}{\partial \over \partial {\dot {x}}^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}={\partial \over \partial x^{\alpha }}{\sqrt {\left|g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }\right|}}\ ,$

landuz honakoa bihurtzen da,

non $U^{\mu }={\dot {x}}^{\mu }.$

s parametroa afina aukeratzen bada, orduan aurreko ekuazioaren eskumako zatia desagertzen da $U_{\nu }U^{\nu }$ konstantea delako. Azkenik, hauxe dugu geodesiken ekuazioa

$\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }+{\ddot {x}}^{\lambda }=0\ .$

Bibliografia[editar]

↑ Will, Clifford M. (11 de marzo de 1993). Theory and Experiment in Gravitational Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43973-2. Consultado el 5 de abril de 2021.
↑ Steven., Weinberg, (2015). Gravitation and cosmology : principles and applications of the general theory of relativity. Wiley India. ISBN 978-81-265-1755-8. OCLC 1099339688. Consultado el 5 de abril de 2021.
↑ Plebanski, Jerzy; Krasinski, Andrzej (2006). An Introduction to General Relativity and Cosmology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-61767-6. Consultado el 6 de abril de 2021.
↑ Einstein, Albert (8 de diciembre de 2003). The Meaning of Relativity. doi:10.4324/9780203449530. Consultado el 6 de abril de 2021.
↑ Einstein, A.; Rosen, N. (1 de julio de 1935). «The Particle Problem in the General Theory of Relativity». Physical Review 48 (1): 73-77. ISSN 0031-899X. doi:10.1103/physrev.48.73. Consultado el 6 de abril de 2021.
↑ Tamir, Michael (2012-05). «Proving the principle: Taking geodesic dynamics too seriously in Einstein's theory». Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics 43 (2): 137-154. ISSN 1355-2198. doi:10.1016/j.shpsb.2011.12.002. Consultado el 6 de abril de 2021.
↑ Plebanski, Jerzy; Krasinski, Andrzej (2006). An Introduction to General Relativity and Cosmology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-61767-6. Consultado el 6 de abril de 2021.

[1] Will, Clifford M. (11 de marzo de 1993). Theory and Experiment in Gravitational Physics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-43973-2. Consultado el 5 de abril de 2021.

[2] Steven., Weinberg, (2015). Gravitation and cosmology : principles and applications of the general theory of relativity. Wiley India. ISBN 978-81-265-1755-8. OCLC 1099339688. Consultado el 5 de abril de 2021.

[3] Plebanski, Jerzy; Krasinski, Andrzej (2006). An Introduction to General Relativity and Cosmology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-61767-6. Consultado el 6 de abril de 2021.

[4] Einstein, Albert (8 de diciembre de 2003). The Meaning of Relativity. doi:10.4324/9780203449530. Consultado el 6 de abril de 2021.

[5] Einstein, A.; Rosen, N. (1 de julio de 1935). «The Particle Problem in the General Theory of Relativity». Physical Review 48 (1): 73-77. ISSN 0031-899X. doi:10.1103/physrev.48.73. Consultado el 6 de abril de 2021.

[6] Tamir, Michael (2012-05). «Proving the principle: Taking geodesic dynamics too seriously in Einstein's theory». Studies in History and Philosophy of Science Part B: Studies in History and Philosophy of Modern Physics 43 (2): 137-154. ISSN 1355-2198. doi:10.1016/j.shpsb.2011.12.002. Consultado el 6 de abril de 2021.

[7] Plebanski, Jerzy; Krasinski, Andrzej (2006). An Introduction to General Relativity and Cosmology. Cambridge University Press. ISBN 978-0-511-61767-6. Consultado el 6 de abril de 2021.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]