Usuario:WikiDaniB/Taller

El Teorema de Pick és un teorema que ens permet calcular l'àrea de polígons simples reticulars. El Teorema va ser formulat pel matemàtic Georg Pick l'any 1899, però no va ser del tot conegut fins l'any 1969, quan va ser publicat en el llibre matemàtic Mathematical Snapshots. miniatura|253x253px|Fotografiia de Georg Pick l'any 1885

Explicació del Teorema

La fórmula que ens dona el Teorema per calcular l'àrea és: ${\textstyle A=i+{\frac {b}{2}}-1}$. On A representa l'àrea del polígon en unitats quadrades, i representa els punts interiors del polígon i b representa els punts de la frontera del polígon. Per poder entendre el Teorema clar definir els conceptes de polígon simple reticular , punts, punts interiors i punts frontera.

Polígon reticular Simple

S'entén com a polígon simple un polígon que els seus costats no s'intersequen, és a dir, que no es tallen entre si. De manera que divideix el pla en dos regions, una exterior al polígon i una regió interna. I un polígon reticular és un polígon que podem situar tots els seus vèrtex en punts de coordenades enteres.

• Aquest és un exemple d'un polígon simple reticular.
  Aquest és un exemple d'un polígon simple reticular.
• Aquest és un polígon simple reticular, encara que és seus angles siguin tan tancats.
  Aquest és un polígon simple reticular, encara que és seus angles siguin tan tancats.
• Aquest és un polígon simple, encara que no reticular
  Aquest és un polígon simple, encara que no reticular
• Aquest és un exemple de polígon reticular però no simple
  Aquest és un exemple de polígon reticular però no simple

Punts

Quan parlem de punts en aquest context ens referim a punts de coordenades enteres, és a dir, punts reticulars situats a sobre de la quadricula.

Punts interiors

Els punts interiors seran els punts reticulars que es troben a la regió interna del polígon, sense comptar els punts situats a sobre dels seus costats.

Punts frontera

Els punts frontera són els punts reticulars que es troben a sobre dels costats del polígon.

Demostració del Teorema

Hi ha varies demostracions del Teorema de Pick, però la més fàcil d'entendre és la demostració clàssica, per a que aquesta demostració sigui certa cal que el Teorema compleixi tres punts, que explicarem a continuació.

El Teorema és vàlid per a triangles reticulars.

El Teorema és vàlid per a triangles amb els dos costats als eixos de coordenades.

miniatura|Triangle de la demostració|alt=Si tenim un triangle rectangle (T), amb base n i amb altura m i la seva hipotenusa té k punts frontera (sense comptar els extrems).

Amb això podem saber que la base té un total de n+1 punts frontera i l'altura m+1 punts frontera, aquestes dues dades ens permet saber que els punts frontera són $B=m+1+n+1+k-1=m+n+k+1$ (restem 1 perquè si no comptaríem el punt d'origen dos cops).

miniatura|Rectangle creat per el triangle inicial i els seu simètric respecte a la hipotenusa. miniatura|Rectangle resultant de negligir k Per calcular els punts interiors ens caldrà fer un quadrat, simètric al triangle T respecte la seva hipotenusa. Aquest quadrat tindrà un total de punts de $T=(m+1)(n+1)$i un total de punts frontera de $B=2(m+1)+2(n+1)-4=2m+2n$(restem 4 per no comptar els vèrtex dues vegades). Per tant, els seus punts interiors serà la resta dels punts totals menys els punts interiors, per tant $mn-m-n+1$.

Això ens és útil saber-ho perquè així sabem que els punts interiors del rectangle simètric menys k són el doble de punts interiors del nostre triangle$(m-1)(n-1)=mn-m-n+1$, per tant, aquest nombre el dividim entre dos per obtindre els punts interiors del nostre triangle $I={\frac {mn-m-n+1-k}{2}}$.

Ara que ja sabem els punts interiors i els punts frontera, podem usar la fórmula de l'àrea del triangle, que és ${\frac {Base\times Altura}{2}}$, que substituïda amb les nostres dades és ${\frac {m\times n}{2}}$, per veure si l'àrea del triangle A(T) és igual al resultat que obtindríem amb Pick P(T).

$P(T)=I+{\frac {B}{2}}-1$

$I={\frac {mn-m-n+1-k}{2}}$ $B=m+n+k+1$$P(T)={\frac {mn-m-n+1-k}{2}}+{\frac {m+n+k+1}{2}}-1$

$P(T)={\frac {mn+2}{2}}-1$

$P(T)={\frac {mn}{2}}$

$P(T)=A(T)$

Per tant, hem confirmat que en un triangle rectangle reticular, si que es pot aplicar el Teorema de Pick. miniatura|Triangle descrit en l'enunciat.|205x205px

El Teorema és vàlid per a un triangle amb un sol costat als eixos de coordenades.

Per poder comprovar la validesa d'aquest enunciat ens caldrà imaginar un Triangle on només els vèrtex B i C estan situats en els eixos de coordenades. El nostre objectiu per poder demostrar aquest enunciat és comprovar que l'area del nostre triangle és igual al resultat de fer el Teorema de Pick , per tant A(ABC)=P(ABC).

Com ja sabem que l'àrea d'un triangle rectangle (amb els dos costats en els eixos), el que fem és construir un rectangle al voltant del triangle ABC. De manera que obtenim dos triangles rectangles (ADB i AEC) i un rectangle (ADCE), a més a més del triangle inicial (ABC), per tant sabem que l'àrea del rectangle serà la suma dels tres triangles. Així que... miniatura|Triangle inicial amb el rectangle ADCE i els triangles ADB i AEC.|203x203px $A(ADB)+A(ABC)+A(AEC)=A(ADCE)$

$A(ADB)+A(ABC)+A(AEC)=P(ADCE)$

$A(ADB)+A(ABC)+A(AEC)=P(ADB)+P(ABC)+P(AEC)$

$A(ADB)+A(ABC)+A(AEC)=A(ADB)+P(ABC)+A(AEC)$

SI cancel·lem els termes que és repeteixen a banda i banda de l'equació obtindrem

$A(ABC)=P(ABC)$

Per tant, podem afirmar que el Teorema de Pick sí és vàlid per a un triangle amb només un costat als eixos de coordenades.

Triangle sense cap dels seus costats en els eixos de coordenades.

Triangle sense cap costat en l'eix de coordenades per entendre el Teorema de PIck.

La comprovació d'aquest enunciat segueix el mateix procediment que la de l'apartat anterior i el cas es quasi idèntic, només que en aquest hi ha la diferència de que quan representem un triangle sense cap costat en els eixos de coordenades i construim el rectangle obtindrem tres triangles rectangles.

Triangle sense cap costat en l'eix de coordenades amb el rectangle dibuixat per entendre el Teorema de Pick.

Per comprovar-ho gràficament seguirem el procediment que ja sabem.

$A(ADB)+A(ABC)+A(AEC)+A(BCF)=A(ADFE)$

$A(ADB)+A(ABC)+A(AEC)+A(BCF)=P(ADFE)$$A(ADB)+A(ABC)+A(AEC)+A(BCF)=A(ADB)+P(ABC)+A(AEC)+A(BCF)$

Si cancel·lem els termes que es repeteixen a banda i banda de l'igualat obtindrem

$A(ABC)=P(ABC)$

Per tant podem confirmar que el tercer i darrer enunciat sobre tipus de triangles està demostrat, i coma conseqüencia podem afirmar que pode calcular l'àrea de qualsevol tipus de triangle reticular amb el Teorema de Pick

El Teorema és vàlid per a dos polígons amb un costat comú.

Per començar, plantejarem la següent situació: Tenim dos polígons P¹, els seus punts interiors seran I¹, els punts frontera B¹, i P², els seus punts interiors I² els punts frontera B². Aquests polígons comparteixen un costat el qual té un total de k punts en comú, i per tant, formen un gran polígon, anomenat P, els seus punts interiors seran I i els seus punts frontera B.

Considerant l'àrea com a A(x) i Pick com a P(x), i sabem que A(x)= P(x).

El nostre objectiu és demostrar que P(P) = P(P¹) + P(P²). Per tant, substituirem la fórmula de Pick amb la terminologia que hem determinat prèviament.

$P(P)=I+{\frac {B}{2}}-1$

$I=I^{(1)}+I^{(2)}+k-2$ $B=B^{(1)}+B^{(2)}-2k+2$

$P(P)=I^{(1)}+I^{(2)}+k-2+{\frac {B^{(1)}+B^{(2)}-2k+2}{2}}-1$

$P(P)=I^{(1)}+I^{(2)}+k-2+{\frac {B^{(1)}}{2}}+{\frac {B^{(2)}}{2}}-k+1$

$P(P)=(I^{(1)}{\frac {B^{(1)}}{2}}-1)+(I^{(2)}+{\frac {B^{(2)}}{2}}-1)$

$P(P)=P(P^{(1)})+P(P^{(2)})$

Per tant, després de veure aquest desenvolupament, podem afirmar que sí, que P(P) = P(P¹) + P(P²).

Després d'aquesta serie de demostracions el Teorema de Pick ha quedat demostrat, ja que si tots els polígons són triangulables, l'àrea de qualsevol triangle és pot calcular amb Pick i dona igual si els triangles comparteixen costats, ja que no afecta al resultat de la fórmula, el Teorema de Pick queda comprovat.

Com aplicar el Teorema

Ara que ja entenem el Teorema i sabem la seva demostració ens caldrà saber com aplicar-ho.

• · Primer de tot, ens caldrà dibuixar una quadricula.
  · Primer de tot, ens caldrà dibuixar una quadricula.
• · Després dibuixarem el nostre polígon reticular simple asobre d'aquesta quadricula-
  · Després dibuixarem el nostre polígon reticular simple asobre d'aquesta quadricula-
• · A continuació marcarem els punst frontera i els punts interiors del nostre polígon reticular simple-
  · A continuació marcarem els punst frontera i els punts interiors del nostre polígon reticular simple-
• · Per últim, farem el recompte dels punts per poder ussar la fórmula i obtindre un resultat.$9+{\frac {12}{2}}-1=14$
  · Per últim, farem el recompte dels punts per poder ussar la fórmula i obtindre un resultat.$9+{\frac {12}{2}}-1=14$